Ungkapan algebra

Dalam matematik, ungkapan algebra ialah ungkapan yang dibina daripada pemalar integer, pemboleh ubah dan operasi algebra (penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian dan pengeksponenan oleh eksponen berupakan nombor nisbah). Contohnya, 3x² − 2xy + c ialah sebuah ungkapan algebra. Memandangkan mengambil punca kuasa dua adalah sama dengan kuasa 1/2, berikut juga merupakan ungkapan algebra:

${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$

Sebuah persamaan algebra pula ialah persamaan yang melibatkan ungkapan algebra sahaja.

Sebaliknya, nombor transenden seperti π dan e tidak bersifat algebra, kerana ia tidak diperoleh daripada pemalar integer dan operasi algebra. Biasanya, π dibina sebagai perhubungan geometri, dan takrifan e memerlukan bilangan operasi algebra yang tidak terhingga.

Sebuah ungkapan nisbah ialah ungkapan yang boleh ditulis semula dalam bentuk pecahan bernisbah dengan menggunakan sifat operasi aritmetik (kalis tukar tertib dan kalis bersekutu penambahan dan pendaraban, sifat kalis agihan dan peraturan operasi pada pecahan itu). Dalam erti kata lain, ungkapan rasional ialah ungkapan yang boleh dibina daripada pemboleh ubah dan pemalar dengan hanya menggunakan empat operasi aritmetik. Oleh itu,

${\frac {3x^{2}-2xy+c}{y^{3}-1}}$

adalah ungkapan nisbah, sedangkan

${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$

pula tidak.

Persamaan nisbah ialah persamaan di mana dua pecahan nisbah dalam bentuk

${\frac {P(x)}{Q(x)}}$

ditetapkan sama antara satu sama lain. Ungkapan ini mematuhi peraturan yang sama seperti pecahan lazim. Persamaan boleh diselesaikan dengan proses darab silang. Pembahagian dengan sifar adalah tak tertakrif, dan oleh itu, penyelesaian yang menerbitkan pembahagian dengan sifar ditolak.

Terminologi

Algebra mempunyai terminologi tersendiri untuk menerangkan bahagian-bahagian ungkapan:

1 – Eksponen (kuasa), 2 – pekali, 3 – sebutan, 4 – operator, 5 – pemalar, $x,y$ - pemboleh ubah

Dalam akar polinomial

Punca-punca ungkapan polinomial darjah n, atau bersamaan dengan penyelesaian persamaan polinomial, sentiasa boleh ditulis sebagai ungkapan algebra jika n < 5 (lihat formula kuadratik, fungsi kubik dan persamaan kuartik). Penyelesaian persamaan sedemikian dipanggil penyelesaian algebra. Akan tetapi, teorem Abel-Ruffini menyatakan bahawa penyelesaian algebra tidak wujud bagi semua persamaan tersebut (hanya untuk beberapa daripadanya) jika n $\geq$ 5.

Tatanama

Pemboleh ubah

Menuruti tatanama, huruf pada permulaan abjad (cth. $a,b,c$) biasanya digunakan untuk mewakili pemalar, dan yang menghampiri penghujung abjad (cth. $x,y$ dan $z$) digunakan untuk mewakili pemboleh ubah. Huruf-huruf biasanya ditulis condong.

Eksponen

Menuruti tatanama, bahagian dengan kuasa tertinggi (eksponen), ditulis di sebelah kiri, sebagai contoh, $x^{2}$ ditulis di sebelah kiri $x$ . Apabila pekali adalah satu, ia biasanya ditinggalkan (cth. $1x^{2}$ ditulis $x^{2}$). Begitu juga apabila eksponen (kuasa) adalah satu, (cth. $3x^{1}$ ditulis $3x$ ), dan, apabila eksponen ialah sifar, hasilnya sentiasa 1 (cth. $3x^{0}$ ditulis $3$, sejak $x^{0}$ sentiasa $1$).

Lihat juga

• Polinomial