Pembinaan tepi lurus dan jangka lukis

Pembinaan dengan tepi lurus dan jangka lukis ialah pembinaan (pelukisan) garisan, sudut dan rajah geometri yang lain hanya menggunakan pembaris unggul dan sepasang jangka lukis.

Pembaris unggul yang dikenali sebagai tepi lurus, diandaikan memiliki panjang tidak terhingga, hanya mempunyai satu tepi, dan tiada tanda padanya. Jangka lukis pula diandaikan tidak mempunyai jejari maksimum atau minimum, dan diandaikan "runtuh" apabila diangkat dari halaman, jadi tidak boleh digunakan secara langsung untuk memindahkan jarak. (Ini adalah tidak penting kerana dengan menggunakan prosedur berbilang langkah, jarak boleh dipindahkan walaupun dengan kompas runtuh; lihat teorem kesetaraan jangka lukis. Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa walaupun jangka lukis tak runtuh yang dipegang pada garis lurus mungkin kelihatan sama dengan menandainya, pembinaan neusis masih tidak dibenarkan dan inilah yang sebenarnya makna "tanpa tanda". Secara lebih formal, satu-satunya binaan yang dibenarkan adalah yang diberikan oleh tiga postulat pertama tulisan "Elemen" oleh Euclid.

Ternyata setiap titik yang boleh dibina menggunakan garis lurus dan kompas juga boleh dibina menggunakan jangka lukis sahaja, atau dengan tepi lurus sahaja jika diberi satu bulatan dan pusatnya.

Ahli matematik Yunani purba mula mencipta binaan tepi lurus-dan-jangka lukis, dan beberapa masalah purba dalam geometri satah mengenakan sekatan ini. Orang Yunani purba membangunkan banyak pembinaan, tetapi dalam beberapa kes, tidak dapat melakukannya. Gauss menunjukkan bahawa beberapa poligon boleh dibina tetapi kebanyakannya tidak. Beberapa masalah garis lurus dan kompas yang paling terkenal telah dibuktikan mustahil oleh Pierre Wantzel pada tahun 1837, menggunakan teori medan matematik.

Walaupun terdapat bukti kemustahilan yang sedia ada, ada yang tetap berusaha untuk menyelesaikan masalah ini.^[1] Banyak daripada masalah ini mudah diselesaikan dengan syarat bahawa transformasi geometri lain dibenarkan: contohnya, menggandakan kubus boleh dilakukan menggunakan binaan geometri, tetapi tidak mungkin menggunakan tepi lurus dan jangka lukis sahaja.

Dari segi algebra, panjang boleh dibina jika dan hanya jika ia mewakili nombor boleh dibina, dan sudut boleh dibina jika dan hanya jika kosinusnya ialah nombor boleh dibina. Nombor boleh dibina jika dan hanya jika ia boleh ditulis menggunakan empat operasi asas aritmetik dan pengekstrakan punca kuasa dua tetapi tiada punca tertib lebih tinggi.

Tepi lurus dan jangka lukis

"Tepi lurus" dan "jangka lukis" dalam konsep ini adalah idealisasi pembaris dan jangka lukis dunia nyata:

Tepi lurus memiliki panjang tidak terhingga, tetapi ia tidak mempunyai tanda padanya dan hanya mempunyai satu tepi lurus, tidak seperti pembaris biasa. Garis yang dilukis adalah sangat nipis dengan lebar setitik. Ia hanya boleh digunakan untuk melukis segmen garisan antara dua titik, dengan ketepatan tak terhingga pada titik tersebut, atau untuk melanjutkan segmen sedia ada.
Jangka lukis boleh dibuka selebar-lebarnya, tetapi (tidak seperti beberapa jangka lukis sebenar) ia tidak mempunyai tanda padanya. Bulatan hanya boleh dilukis bermula dari dua titik tertentu: pusat dan satu titik pada bulatan dan diselaraskan dengan titik tersebut dengan ketepatan tidak terhingga. Lengkok yang dilukis adalah sangat nipis dengan lebar titik. Kompas mungkin runtuh atau mungkin tidak apabila ia tidak melukis bulatan.

Kompas sebenar tidak runtuh dan pembinaan geometri moden sering menggunakan ciri ini. "Jangka lukis yang runtuk" tampak seperti alat yang kurang kukuh. Walau bagaimanapun, dengan teorem kesetaraan jangka lukis dalam Usul 2, Buku 1 "Elemen" Euclid, tiada kuasa yang hilang dengan menggunakan kompas runtuh. Walaupun kenyataan itu betul, buktinya mempunyai sejarah yang panjang dan berbelik-belit.^[2] Apapun begitu, kesetaraan ini adalah sebab ciri ini tidak ditetapkan dalam takrifan jangka lukis ideal.

Setiap binaan mestilah tepat. Sekadar "mencongak" (pada asasnya meneka-neka ketepatannya, atau menggunakan beberapa bentuk ukuran, seperti unit ukuran pembaris) dan sebagainya tidak dikira sebagai penyelesaian.

Setiap pembinaan mesti ditamatkan. Iaitu, ia mesti mempunyai bilangan langkah yang terhad, dan bukan had anggaran yang lebih dekat.

Dinyatakan dengan cara ini, pembinaan ini kelihatan seperti permainan ruang tamu, bukannya masalah praktikal yang serius; tetapi tujuan sekatan adalah untuk memastikan pembinaan boleh dibuktikan sebetul-betulnya.

Pembinaan asas

Semua binaan tepi lurus dan jangka lukis terdiri daripada aplikasi berulang lima binaan asas dengan titik, garisan dan bulatan yang telah dibina. Ini adalah:

Mencipta garisan melalui dua titik sedia ada
Mencipta bulatan melalui satu titik dengan pusat titik lain
Mencipta titik yang merupakan persilangan dua garisan tidak selari yang sedia ada
Mencipta satu atau dua titik dalam persilangan garis dan bulatan (jika ia bersilang)
Mencipta satu atau dua titik dalam persilangan dua bulatan (jika ia bersilang).

Sebagai contoh, bermula dengan hanya dua titik yang berbeza, kita boleh membuat garisan atau salah satu daripada dua bulatan (seterusnya, menggunakan setiap titik sebagai pusat dan melalui titik yang lain). Jika kita melukis kedua-dua bulatan, dua titik baharu dicipta di persimpangan mereka. Melukis garisan antara dua titik asal dan salah satu titik baharu ini melengkapkan pembinaan segi tiga sama sisi.

Oleh itu, dalam mana-mana masalah geometri kita mempunyai set awal simbol (titik dan garis), algoritma, dan beberapa keputusan. Dari perspektif ini, geometri adalah bersamaan dengan algebra aksiomatik, menggantikan elemennya dengan simbol. Mungkin Gauss mula-mula menyedari ini, dan menggunakannya untuk membuktikan kemustahilan beberapa pembinaan; hanya selepas itu Hilbert menjumpai set lengkap aksiom untuk geometri.

Pembinaan lazim

Pembinaan tepi lurus dan jangka lukis yang paling banyak digunakan termasuk:

Membina pembahagi dua serenjang daripada segmen
Mencari titik tengah segmen.
Melukis garis serenjang dari satu titik ke garis.
Membahagi dua sudut
Mencerminkan titik dalam garisan
Membina garisan melalui titik tangen kepada bulatan
Membina bulatan melalui 3 titik bukan kolinear
Melukis garis melalui titik tertentu selari dengan garis tertentu.

Rujukan

^ Underwood Dudley (1983), "What To Do When the Trisector Comes" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 5 (1): 20–25, doi:10.1007/bf03023502
^ Godfried Toussaint, "A new look at Euclid’s second proposition," The Mathematical Intelligencer, Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.

[1] Underwood Dudley (1983), "What To Do When the Trisector Comes" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 5 (1): 20–25, doi:10.1007/bf03023502

[2] Godfried Toussaint, "A new look at Euclid’s second proposition," The Mathematical Intelligencer, Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.

[1]

[2]