Kongruen (geometri)

Dalam geometri, dua bentuk atau objek lainnya disebut (saling) kongruen jika kedua-duanya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, atau salah satunya memiliki bentuk dan ukuran yang sama dari cerminan daripada yang lain.

Definisi

Secara lebih formal, dua himpunan titik dikatakan kongruen jika dan hanya jika himpunan yang satu dapat ditranformasi menjadi himpunan yang lain berdasarkan isometri; dengan kata lain, kombinasi dari translasi, putaran, dan pantulan. Hal ini bererti satu objek dapat dipindahkan dan dicerminkan (namun tidak diubah ukurannya) agar dapat tepat bertumpuk dengan objek lainnya.

Pada geometri dasar, kata kongruen (terkadang digantikan dengan kata sama) sering digunakan dalam hal-hal berikut:

• Dua segmen garisan adalah kongruen jika kedua-duanya memiliki panjang yang sama.
• Dua sudut adalah kongruen jika kedua-duanya memiliki besar yang sama.
• Dua bulatan adalah kongruen jika kedua-duanya memiliki panjang diameter yang sama.

Dalam konteks ini, dua bentuk yang kongruen menyiratkan kedua-duanya memiliki ciri yang sama, bukan hanya pada sisi dan sudut, namun juga termasuk diagonal, lilitan dan luasnya.

Dalam geometri analisis, sifat kekongruenan juga dapat didefinisikan secara intuitif: dua pemetaan dalam satu sistem koordinat Cartes saling kongruen jika dan hanya jika bagi setiap dua titik dalam pemetaan pertama, jarak Euclid kedua-duanya sama dengan jarak Euclid titik-titik yang bersesuaian dalam pemetaan kedua. Dalam bahasa yang lebih formal, dua subset $A$ dan $B$ dalam ruang Euclid $\mathbb {R} ^{n}$ dikatakan kongruen jika terdapat isometri $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ (dari grup Euklides $E(n)$) yang memenuhi $F(A)=B$. Kekongruenan termasuk dalam hubungan kesamaan.

Kekongruenan objek

Segi tiga

Bentuk segi tiga dapat ditentukan sifat kekongruenan dengan menentukan ukuran dua sisi dan sudut di antaranya (SAS), atau dua sudut dan sebuah sisi (ASA, AAS, atau SAA). Namun, dua sisi dan sebuah sudut yang tidak diapit (seperti SSA) dapat menghasilkan dua segi tiga yang berbeza.

Jika sebuah segi tiga $\triangle \mathrm {ABC}$ adalah kongruen dengan segi tiga $\triangle \mathrm {DEF}$, hubungan kedua-duanya dapat dituliskan secara matematik sebagai

$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$.

Dalam kebanyakan kes, dua segi tiga dapat disimpulkan kongruen cukup dengan menyemak sama ada kedua-duanya memenuhi salah satu keadaan berikut:

• SAS (Side-Angle-Side, Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi pada kedua-dua segi tiga memiliki panjang yang sama, dan sudut yang diapit oleh kedua-dua sisi tersebut memiliki besar yang sama, maka kedua-dua segi tiga tersebut kongruen.
• SSS (Side-Side-Side, Sisi-Sisi-Sisi): Jika ketiga sisi pada kedua-dua segi tiga memiliki panjang yang sama, maka kedua-dua segi tiga tersebut kongruen.
• ASA (Angle-Side-Angle, Sudut-Sisi-Sudut): Jika dua sudut pada kedua-dua segi tiga memiliki besar yang sama, dan sisi yang diapit oleh kedua-dua sudut tersebut memiliki panjang yang sama, maka kedua-dua segi tiga tersebut kongruen.

Postulat ASA ialah terbitan Thales. Dalam kebanyakan sistem aksiom, ketiga-tiga kriteria ini – SAS, SSS dan ASA – ditetapkan sebagai teorem. Dalam geometri Euclid, nilai Sudut-Sudut-Sudut, AAA (Angle-Angle-Angle) tidak memberikan informasi apapun mengenai ukuran segi tiga, sehingga hanya dapat menyimpulkan sifat kesamaan. Namun, dalam geometri sfera dan geometri hiperbolik, dengan sifat ukuran segi tiga berdasarkan jumlah sudut-sudutnya, AAA cukup untuk menyimpulkan kekongruenan.

Di permukaan sfera

Serupa dengan bidang dua dimensi, dua segi tiga di permukaan sfera yang memenuhi kondisi sudut-sisi-sudut (ASA) saling kongruen. Teorem kekongruenan sisi-sudut-sisi (SAS) dan sisi-sisi-sisi (SSS) juga terpakai pada permukaan sfera. Selain itu, jika dua segi tiga memiliki besar sudut-sudut-sudut (AAA) yang sama, kedua-duanya saling kongruen. Hal ini berbeza dengan segi tiga pada geometri Euclid, karena jumlah ketiga-tiga sudut segi tiga pada permukaan bola berkait dengan ukuran segi tiga. Teorem sudut-sudut-sisi (AAS) pula tidak berlaku pada permukaan sfera. Sama juga keadaannya bagi sisi-sisi-sudut (SSA).

Satah kon

Dua satah kon bersifar kongruen jika kesipian dan salah satu parameter-parameter lain bernilai sama. Oleh kerana kesipian berkait dengan bentuk, kesamaan antara kedua-duanya cukup untuk menyimpulkan kesamaan, sedangkan parameter yang lain untuk menyimpulkan ukuran. Dengan dua lingkaran, dua parabola, mauhpun dua hiperbola memiliki kesipian yang sama (0, 1, dan ${\sqrt {2}}$) masing-masing, mereka hanya perlu memiliki satu parameter lain untuk menyimpulkan ukuran. Dalam bulatan, hal ini dapat berupa jejari, diameter, ukurlilit atau luas.

Polihedron

Bagi dua polihedron dengan jumlah tepi $E$, jumlah permukaan dan jumlah sisi yang sama, terdapat suatu set paling banyak $E$ pengukuran untuk menyemak sifat kekongruenan kedua-duanya. Bagi kubus yang memiliki 12 tepu, paling banyak 9 pengukuran diperlukan untuk menilai sifat kekongruenan.

Poligon

Ketiga-tiga poligon berikut memiliki ukurlilit dan luas yang sama, tetapi urutan posisi sisi pada poligon biru diubah. Maka, poligon jingga dan poligon hijau saling kongruen, sedangkan poligon biru adalah tidak kongruen kerana jumlah sisi-sudut yang berbeza.

Agar dua poligon kongruen, kedua-duanya perlu memiliki jumlah sisi yang sama (juga bererti memiliki jumlah titik yang sama) dan memiliki barisan sisi-sudut-sisi-sudut-... yang sama.

Notasi

Simbol biasa yang digunakan untuk menandakan kekongruenan ialah simbol sama dengan dengan tilde di atasnya, ≅, berhubungan dengan karakter Unicode 'approximately equal to' (U+2245). Di beberapa lokasi seperti UK, simbol sama dengan dengan tiga garis, ≡ (U+2261) terkadang digunakan.

Pautan luar

• Teorem SSS di Cut-the-Knot
• Teorema SSA di Cut-the-Knot
• Animasi interaktif yang mendemonstrasikan kekongruenan dua poligon, sudut, segmen garis, segi tiga, di Math Open Reference