Cerun

Dalam matematik, cerun (Jawi: ‏چرون‎code: ms is deprecated ‎) atau kecerunan (Jawi: ‏کچرونن‎code: ms is deprecated ‎) garis ialah nombor yang menerangkan kedua-dua arah dan kecuraman sesuatu garis.^[1] Cerun sering dilambangkan dengan huruf m; tiada jawapan yang jelas kepada soalan mengapa huruf m digunakan untuk cerun, tetapi penggunaan terawalnya dalam bahasa Inggeris terdapat dalam O'Brien (1844)^[2] yang menulis persamaan garis lurus sebagai "y = mx + b" dan ia juga boleh didapati dalam Todhunter (1888)^[3] yang menulisnya sebagai " y = mx + c ".^[4]

Cerun dikira dengan mencari nisbah "perubahan menegak" kepada "perubahan mendatar" antara (mana-mana) dua titik berbeza pada satu garis. Kadang kala nisbah dinyatakan sebagai hasil bahagi ("naik atas larian"), memberikan nombor yang sama untuk setiap dua titik berbeza pada baris yang sama. Garisan yang semakin menurun mempunyai "kenaikan" negatif. Garisan itu mungkin praktikal – seperti yang ditetapkan oleh juruukur jalan, atau dalam rajah yang memodelkan jalan atau bumbung sama ada sebagai penerangan atau sebagai pelan.

Kecuraman, kecondongan atau gred garisan diukur dengan nilai mutlak cerun. Cerun dengan nilai mutlak yang lebih besar menunjukkan garis yang lebih curam. Arah garis sama ada meningkat, menurun, mendatar atau menegak.

Garis menaik jika ia naik dari kiri ke kanan. Cerun adalah positif, iaitu $m>0$ .
Garis menurun jika ia turun dari kiri ke kanan. Cerun adalah negatif, iaitu $m<0$ .
Jika garisan mendatar, kecerunannya ialah sifar. Ini adalah fungsi malar.
Jika garisan menegak, cerun tidak tertakrif (lihat di bawah).

Kenaikan jalan di antara dua titik ialah perbezaan antara ketinggian jalan di dua titik tersebut, katakan y ₁ dan y ₂, atau dengan kata lain, kenaikan ialah (y₂ − y₁) = Δy. Untuk jarak yang agak pendek, di mana kelengkungan Bumi mungkin diabaikan, larian ialah perbezaan jarak dari titik tetap yang diukur sepanjang aras, garis mendatar, atau dengan kata lain, larian ialah (x₂ − x₁) = Δx. Di sini kecerunan jalan di antara dua titik hanya digambarkan sebagai nisbah perubahan ketinggian kepada jarak mendatar antara mana-mana dua titik pada garisan.

Dalam bahasa matematik, kecerunan m garis ialah

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

Konsep cerun terpakai terus kepada gred atau gradien dalam geografi dan kejuruteraan awam. Melalui trigonometri, kecerunan m garis dikaitkan dengan sudut kecondongannya θ oleh fungsi tangen.

m=\tan(\theta )

Oleh itu, garisan menaik 45° mempunyai kecerunan +1 dan garis menurun 45° mempunyai kecerunan sebanyak −1.

Sebagai pengitlakan penerangan praktikal ini, matematik kalkulus pembezaan menakrifkan kecerunan lengkung pada satu titik sebagai kecerunan garis tangen pada titik itu. Apabila lengkung diberikan oleh satu siri titik dalam rajah atau dalam senarai koordinat titik, cerun boleh dikira bukan pada satu titik tetapi di antara mana-mana dua titik tertentu. Apabila lengkung diberikan sebagai fungsi selanjar, mungkin sebagai ungkapan algebra, maka kalkulus pembezaan menyediakan peraturan yang memberikan formula untuk kecerunan lengkung pada mana-mana titik di tengah lengkung.

Pengitlakan konsep cerun ini membolehkan pembinaan yang sangat kompleks dirancang dan dibina yang melampaui struktur statik yang sama ada mendatar atau menegak, tetapi boleh berubah mengikut masa, bergerak dalam lengkung, dan berubah bergantung pada kadar perubahan faktor lain. Oleh itu, idea mudah cerun menjadi salah satu asas utama dunia moden dari segi teknologi dan persekitaran binaan.

Takrifan

Kecerunan garis dalam satah yang mengandungi paksi x dan y secara amnya diwakili oleh huruf m, dan ditakrifkan sebagai perubahan dalam koordinat y dibahagikan dengan perubahan sepadan dalam koordinat x, antara dua titik berbeza pada garisan. Ini dijelaskan oleh persamaan berikut:

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{perubahan}}\,{\text{menegak}}}{{\text{perubahan}}\,{\text{mengufuk}}}}={\frac {\text{naikan}}{\text{larian}}}.

(Huruf Yunani delta, Δ, biasanya digunakan dalam matematik untuk bermaksud "perbezaan" atau "perubahan". )

Diberi dua mata $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ , perubahan dalam $x$ dari satu ke yang lain adalah $x_{2}-x_{1}$ (larian), manakala perubahan dalam $y$ ialah $y_{2}-y_{1}$ (naikan). Menggantikan kedua-dua kuantiti ke dalam persamaan di atas menghasilkan formula:

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

Formula gagal untuk garis menegak, selari dengan $y$ paksi (lihat Pembahagian dengan sifar), yang cerun boleh diambil sebagai tak terhingga, jadi cerun garis menegak dianggap tidak tertakrif.

Contoh

Katakan satu garisan melalui dua titik: P = (1, 2) dan Q = (13, 8). Dengan membahagikan perbezaan dalam $y$ -koordinat mengikut perbezaan dalam $x$ -koordinat, seseorang boleh mendapatkan cerun garisan:

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}

.

Oleh kerana cerun adalah positif, arah garisan semakin meningkat. Memandangkan |m| < 1, condong tidak terlalu curam (condong < 45°).

Sebagai contoh lain, pertimbangkan garis yang melalui titik (4, 15) dan (3, 21). Kemudian, kecerunan garisan ialah

m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.

Oleh kerana cerun adalah negatif, arah garisan semakin berkurangan. Memandangkan |m| > 1, penurunan ini agak curam (penurunan > 45°).

Algebra dan geometri

Jika $y$ ialah fungsi linear bagi $x$ , maka pekali bagi $x$ ialah kecerunan garis yang dicipta dengan memplot fungsi tersebut. Oleh itu, jika persamaan garis diberikan dalam bentuk
$y=mx+b$
maka $m$ ialah cerun. Bentuk persamaan garis ini dipanggil bentuk pintasan cerun, kerana $b$ boleh ditafsirkan sebagai pintasan-y pada garis itu, iaitu, koordinat $y$ di mana garis itu bersilang dengan paksi $y$ .
Jika kecerunan $m$ bagi garis dan titik $(x_{1},y_{1})$ pada garis kedua-duanya diketahui, maka persamaan garis boleh didapati menggunakan rumus titik-cerun:
$y-y_{1}=m(x-x_{1}).$
Kecerunan garis yang ditakrifkan oleh persamaan linear
$ax+by+c=0$
ialah
$-{\frac {a}{b}}$ .
Dua garis adalah selari jika dan hanya jika ia bukan garis yang sama (bertepatan) dan mana-mana cerunnya adalah sama atau kedua-duanya menegak dan oleh itu kedua-duanya mempunyai cerun yang tertakrif. Dua garis adalah serenjang jika hasil darab kecerunannya ialah −1 atau satu mempunyai kecerunan 0 (garis mendatar) dan satu lagi mempunyai kecerunan tertakrif (garis menegak).
Sudut θ antara −90° dan 90° yang dibuat oleh garis dengan paksi x adalah berkaitan dengan cerun m seperti berikut:
$m=\tan(\theta )$
dan
$\theta =\arctan(m)$ (ini ialah fungsi songsang tangen; lihat fungsi trigonometri songsang).

Contoh

Sebagai contoh, pertimbangkan garis yang melalui titik (2,8) dan (3,20). Garis ini mempunyai cerun, $m$ , iaitu

{\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.

Seseorang kemudian boleh menulis persamaan garis, dalam bentuk cerun titik:

y-8=12(x-2)=12x-24.

atau:

y=12x-16.

Sudut θ antara −90° dan 90° yang dibuat oleh garis ini dengan paksi- $x$ ialah

\theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.

Pertimbangkan dua garis: $y = -3 x + 1$ dan $y = -3 x - 2$ . Kedua-dua garisan mempunyai kecerunan $m = -3$ . Mereka bukan garis yang sama. Jadi ia adalah garis selari.

Pertimbangkan dua baris $y = -3 x + 1$ dan $y = x / 3 - 2$ . Kecerunan garis pertama ialah $m 1 = -3$ . Kecerunan garis kedua ialah $m 2 = 1 / 3$ . Hasil darab kedua-dua cerun ini ialah −1. Jadi kedua-dua garis ini berserenjang.

Perangkaan

Dalam statistik, kecerunan garis regresi kuasa dua terkecil yang paling padan untuk sampel data tertentu boleh ditulis sebagai:

m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}

,

Kuantiti m ini dipanggil sebagai cerun regresi untuk garisan $y=mx+c$ . Kuantiti $r$ ialah pekali korelasi Pearson, $s_{y}$ ialah sisihan piawai bagi nilai-y dan $s_{x}$ ialah sisihan piawai bagi nilai-x. Ini juga boleh ditulis sebagai nisbah kovarians: ^[5]

m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}

Cerun jalan atau kereta api

Terdapat dua cara biasa untuk menggambarkan kecuraman jalan atau jalan kereta api. Satu adalah dengan sudut antara 0° dan 90° (dalam darjah), dan satu lagi dengan cerun dalam peratusan. Lihat juga landasan kereta api gred curam dan landasan kereta api rak.

Rumus untuk menukar cerun yang diberikan sebagai peratusan kepada sudut dalam darjah dan sebaliknya ialah:

{\text{sudut}}=\arctan \left({\frac {\text{cerun}}{100\%}}\right)

(ini ialah fungsi songsang tangen; lihat trigonometri )

dan

{\mbox{cerun}}=100\%\times \tan({\mbox{sudut}}),

dengan sudut dalam darjah dan fungsi trigonometri beroperasi dalam darjah. Contohnya, cerun 100% atau 1000‰ ialah sudut 45°.

Cara ketiga ialah memberikan satu unit kenaikan dalam katakan 10, 20, 50 atau 100 unit mendatar, contohnya 1:10. 1:20, 1:50 atau 1:100 (atau "1 dalam 10", "1 dalam 20", dll.) 1:10 adalah lebih curam daripada 1:20. Contohnya, kecuraman 20% bermakna 1:5 atau condong dengan sudut 11.3°.

Jalan raya dan kereta api mempunyai kedua-dua cerun membujur dan cerun silang.

Tanda amaran cerun di Belanda
Papan tanda amaran cerun di Poland
Jarak 1371 meter jalan kereta api dengan cerun 20‰ di Republik Czech
Tiang kecerunan kereta api zaman wap menunjukkan cerun di kedua-dua arah di stesen kereta api Meols, United Kingdom

Kalkulus

Pada setiap titik, terbitan ialah kecerunan garis yang bertangen kepada lengkung pada titik itu. Nota: terbitan pada titik A adalah positif di mana hijau dan titik sempang, negatif di mana merah dan putus-putus, dan sifar di mana hitam dan padu.

Konsep cerun adalah teras kepada kalkulus pembezaan. Untuk fungsi bukan linear, kadar perubahan berbeza di sepanjang lengkung. Terbitan bagi fungsi pada satu titik ialah kecerunan garis tangen kepada lengkung pada titik itu, dan dengan itu sama dengan kadar perubahan fungsi pada titik itu.

Jika kita biarkan Δx dan Δy ialah jarak (masing-masing sepanjang paksi x dan y) antara dua titik pada lengkung, maka cerun yang diberikan oleh takrif di atas,

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

,

ialah kecerunan garis sekan pada lengkung. Untuk garis, sekan di antara mana-mana dua titik ialah garis itu sendiri, tetapi ini tidak berlaku untuk mana-mana jenis lengkung lain.

Dengan menggerakkan dua titik lebih rapat supaya Δy dan Δx berkurangan, garis sekan lebih hampir menghampiri garis tangen ke lengkung, dan oleh itu kecerunan sekan menghampiri tangen. Dengan menggunakan kalkulus pembezaan, kita boleh menentukan had, atau nilai yang Δy/Δx menghampiri apabila Δy dan Δx semakin menghampiri sifar; ia berikutan bahawa had ini ialah cerun tepat tangen. Jika y bergantung kepada x, maka sudah memadai untuk mengambil had di mana hanya Δx menghampiri sifar. Oleh itu, kecerunan tangen ialah had Δy/Δx apabila Δx menghampiri sifar, atau dy/dx. Kita memanggil had ini terbitan.

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Nilainya pada satu titik pada fungsi memberikan kita cerun tangen pada titik itu. Sebagai contoh, biarkan y = x². Satu titik pada fungsi ini ialah (−2,4). Terbitan bagi fungsi ini ialah ^dy⁄_dx = 2x. Jadi kecerunan garis tangen kepada y pada (−2,4) ialah 2 ⋅ (−2) = −4. Persamaan garis tangen ini ialah: y − 4 = (−4)(x − (−2)) atau y = −4x − 4.

Lihat juga

Jarak Euclid
Gred
Satah condong
Fungsi linear
Garis cerun terbesar
Takrifan cerun
Penganggar Theil–Sen, garis dengan cerun median di antara set titik sampel

Rujukan

^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. m/s. 348. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 29 October 2013. Dicapai pada 1 September 2013.
^ O'Brien, M. (1844), A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry, Cambridge, England: Deightons
^ Todhunter, I. (1888), Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections, London: Macmillan
^ Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Diarkibkan daripada yang asal pada 6 December 2016. Dicapai pada 30 October 2016.
^ Further Mathematics Units 3&4 VCE (Revised). Cambridge Senior Mathematics. 2016. ISBN 9781316616222 – melalui Physical Copy.

Pautan luar

"Slope of a Line (Coordinate Geometry)". Math Open Reference. 2009. Dicapai pada 30 October 2016. interactive

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. m/s. 348. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 29 October 2013. Dicapai pada 1 September 2013.

[2] O'Brien, M. (1844), A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry, Cambridge, England: Deightons

[3] Todhunter, I. (1888), Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections, London: Macmillan

[4] Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Diarkibkan daripada yang asal pada 6 December 2016. Dicapai pada 30 October 2016.

[5] Further Mathematics Units 3&4 VCE (Revised). Cambridge Senior Mathematics. 2016. ISBN 9781316616222 – melalui Physical Copy.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]