Tindak balas spin-petala

Dalam fizik kuantum, tindak balas spin-petala (juga dipanggil kesan spin-petala atau gandingan spin-petala) merupakan tindakan spin zarah dengan pergerakannya. contoh yang pertama dan terbaik ialah tindak balas spin-petala menyebabkan anjakan aras tenaga atom bagi sesuatu elektron (dapat dikesan dengan garis spektrum), disebabkan oleh tindak balas elektromagnet antara spin elektron dengan medan elektrik nukleus, yang dilaluinya. kesan yang sama, disebabkan oleh hubungan antara momentum sudut dan daya nuklear kuat, berlaku pada proton dan neutron yang bergerak di dalam nukleus, lalu menyebabkan anjakan pada aras tenaga mereka dalam model petala nukleus. dalam bidang spintronik, kesan spin-petala bagi elektron dalam semikonduktor dan bahan lain dikaji.

Tindak balas spin-petala dalam aras tenaga atom

Dalam bahagian ini, kita akan mendapati pernyataan ringkas dan kuantitatif bagi tindak balas spin-petala bagi elektron yang terikat pada satu atom, dengan menggunakan elektrodinamik dan kuantum mekanik bukan kerelatifan, hingga ke tertib pertama dalam teori usikan. Ini memberikan hasil yang dipersetujui, tetapi tidak secara keseluruhan, dengan eksperimen. Terdapat terbitan rapi bagi hasil yang sama yang dimulakan dengan persamaan Dirac, dan mencapai keputusan yang lebih persis yang melibatkan pengiraan pembetulan kecil daripada elektrodinamik kuantum.

Tenaga momen magnet

Tenaga momen magnet dalam medan magnet diberikan oleh:

$\Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}},$

iaitu μ adalah momen magnet bagi zarah dan B adalah medan magnet yang dialaminya.

Medan magnet

Kita harus berurusan dengan medan magnet dahulu. Walaupun dalam bahagian lain bagi nukleus, tiada medan magnet, tetapi masih ada satu bagi elektron. Dengan mengabaikannya buat masa ini memandangkan rangka ini tidak mempunyai inersia, kita akan berakhir dengan persamaan

${\boldsymbol {B}}=-{{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}} \over c^{2}},$

iaitu v halaju bagi elektron dan E ialah medan elektrik yang dilaluinya. Kini kita tahu bahawa E adalah jejarian, maka kita boleh menulis semula ${\boldsymbol {E}}=\left|{E \over r}\right|{\boldsymbol {r}}$. Juga kita tahu bahawa momentum bagi elektron ${\boldsymbol {p}}=m_{e}{\boldsymbol {v}}$. Gantikannya dan ubah tertib hasil darab silang akan memberikan:

${\boldsymbol {B}}={{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}} \over m_{e}c^{2}}\left|{E \over r}\right|.$

Kemudian, kita nyatakan medan magnet sebagai kecerunan bagi keupayaan elektrik ${\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}V$. Maka, kita lakukan panganggaran medan pusat, iaitu, keupayaan elektrostatik merupakan sfera secara simetri, maka ia hanya merupakan fungsi jejarian. Penganggaran ini adalah tepat bagi hidrogen, malah ia merupakan sistem ala hidrogen. Kini kita boleh katakan

$\left|E\right|={\partial V \over \partial r}={1 \over e}{\partial U(r) \over \partial r},$

iaitu $U=Ve$ merupakan tenaga keupayaan bagi elektron dalam medan pusat, dan e merupakan cas keunsuran. Kita harus ingat dari mekanik klasik bahawa momentum sudut bagi zarah ${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$. Letakkan semuanya bersama, kita dapati

${\boldsymbol {B}}={1 \over m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}{\boldsymbol {L}}.$

Adalah penting untuk mengetahui bahawa pada takat ini, B adalah nombor positif yang didarabkan dengan L, bermaksud bahawa medan magnet adalah selari dengan momentum sudut orbital bagi zarah.

Momen magnet bagi elektron

Momen magnet bagi elekron ialah

${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}{\boldsymbol {S}}/\hbar ,$

iaitu ${\boldsymbol {S}}$ adalah vektor momentum sudut bagi spin, $\mu _{B}$ adalah magneton Bohr dan $g_{s}\approx 2$ ialah faktor g bagi spin elektron. Di sini, ${\boldsymbol {\mu }}$ adalah pemalar negatif yang didarabkan dengan spin, maka momen magnet adalah anti selari dengan momentum sudut spin.

Tenaga tindak balas

Tenaga tindak balas adalah

$\Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}.$

Mari gantikannya dalam pernyataan yang telah diterbitkan.

$-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}={2\mu _{B} \over \hbar m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}({\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}})$

Kita masih belum mengambil kira ketiadaan inersia bagi rangka elektron rehat; kesan ini dinamakan liukan Thomas dan ia memperkenalkan faktor ${\frac {1}{2}}$. Maka

$-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}={\mu _{B} \over \hbar m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}({\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}})$

Menilai anjakan tenaga

Disebabkan penganggaran di atas, kita kini boleh menilai anjakan tenaga dengan tepat bagi model ini. Secara khususnya, kita ingi mencari asas yang memenjurukan kedua-dua H₀ (Hamiltonian tak terusik) dan ΔH. Untuk mengetahui apakah asasnya, kita harus mentakrifkan operator jumlah momentum sudut

${\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {S}}.$

Dengan mengambil hasil darab titik dengan dirinya, kita akan mendapat

$J^{2}=L^{2}+S^{2}+2{\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}$

(memandangkan L dan S adalah kalis tukar tertib), maka

${\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}={1 \over 2}({\boldsymbol {J}}^{2}-{\boldsymbol {L}}^{2}-{\boldsymbol {S}}^{2})$

Ia boleh ditunjukkan dalam lima operator H₀, J², L², S², dan J_z yang semuanya kalis tukar tertib antara satu sama lain dan dengan ΔH. Maka, asas yang kita cari adalah eigen asas serentak bagi kelima-lima operator ini (i.e., basis bagi kelima-limanya adalah pepenjuru). Unusr bagi asas ini mempunyai lima nombor kuantum: n ("nombor kuantum utama") j ("nombor kuantum jumlah momentum sudut"), l ("nombor kuantum momentum sudut orbital"), s ("nombor kuantum spin quantum number"), dan j_z ("jumlah momentum sudut bagi komponen-z").

Untuk menilai tenaga, kita perhatikan yang

$\left\langle {1 \over r^{3}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}$

bagi fungsi gelombang hidrogen ($a=\hbar /Z\alpha m_{e}c$ adalah jejari Bohr yang dibahagi dengan cas nukleus Z); dan

$\left\langle {\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}\right\rangle ={1 \over 2}(\langle {\boldsymbol {J}}^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {L}}^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {S}}^{2}\rangle )$

$={\hbar ^{2} \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))$

Anjakan tenaga akhir

Kini kita boleh katakan bahawa

$\Delta E={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))$

iaitu

$\beta ={-\mu _{B} \over m_{e}ec^{2}}\left\langle {1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}\right\rangle$

Bagi hidrogen, kita boleh tulis keputusan jelas

$\beta (n,l)={\mu _{0} \over 4\pi }g_{s}\mu _{B}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}$

Bagi atom yang terion tunggal yang mempunyai Z proton

$\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4\pi }g_{s}\mu _{B}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}$

Lihat juga

• Gandingan momentum sudut
• Kesan Stark
• Kesan Zeeman

Rujukan

• E. U. Condon and G. H. Shortley (1935). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4.
• D. J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd edition). Prentice Hall.