Tetrasi

Graf fungsi ${}_{}^{n}\!x$ di mana $n=2,3,4,\cdots$. Ia menunjukkan penumpuan kepada tetrasi tak terhingga antara dua titik.

Dalam bidang matematik, tetrasi adalah operasi aritmetik berdasarkan ulangan, iterasi eksponensiasi. Tiada wujud tatatanda standard untuk mewakili operasi tetrasi, tetapi wujud beberapa tatatanda lain. Antara tatatanda yang kadang digunakan adalah Notasi Anak Panah Atas Knuth ($\uparrow \uparrow$) dan ${}_{}^{b}\!a$. Operasi tetrasi adalah hiper-operasi ke-4, sebelum pentasi dan selepas eksponensiasi.

Bahawa definisinya, tetrasi ${}_{}^{b}\!a$ adalah $a$ dieksponenkan $b$ kali. Jadi;

${}_{}^{b}\!a:=\underbrace {a^{a^{a^{...^{a}}}}} _{b\,\,\mathrm {kali} }$

Secara terminologi, $a$ dipanggil sebagai 'asas' operasi ini dan $b$ dipanggil sebagai 'tinggi' operasi ini. Serupa dengan eksponensiasi, ia disebut sebagai "tetrasi $b$ bagi $a$". Tetrasi dikira dari atas-kanan ke bawah-kiri. Maka, $a^{b^{c}}$ sama dengan $a^{(b^{c})}$, tetapi bukan sama dengan $a^{bc}$. Tetrasi juga boleh ditulis dalam definisi rekursifnya;

$a\uparrow \uparrow n={\begin{cases}\mathrm {if} \,n=0,1\\\mathrm {if} \,n>0,\,a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}\end{cases}}$

Definisi rekursif ini boleh digunakan untuk memperpanjangkan domain tetrasi untuk mengambil beberapa jenis nombor untuk $a$ dan $b$. Seperti nombor nisbah, nombor bukan nisah, nombor negatif dan nombor kompleks.

Fungsi songsang bagi tetrasi adalah punca kuasa super dan logaritma-super. Fungsi-fungsi ini merupakan fungsi bukan asas.

Tetrasi digunakan untuk mewakili nombor bergergasi.

Pengenalan

Empat hiper-operasi yang pertama ditunjukkan di sini. Tetrasi dianggar sebagai hiper-operasi ke-4 dalam siri ini.

Penambahan

Maklumat selanjutnya: Tanda matematik

Hiper-operasi pertama, penambahan, iterasi suksesi;

$a+n=a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{n\,\mathrm {kali} }$

Pendaraban

Maklumat selanjutnya: Pendaraban

Hiper-operasi kedua, pendaraban, iterasi tambahan;

$a\times n=\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n\,\mathrm {kali} }$

Pengeksponenan

Maklumat selanjutnya: Pengeksponenan

Hiper-operasi ketiga, pengeksponenan, iterasi pendaraban;

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots \times a} _{n\,\mathrm {kali} }$

Tetrasi

Hiper-operasi keempat, tetrasi, iterasi pengeksponenan;

${}_{}^{b}\!a:=\underbrace {a^{a^{a^{...^{a}}}}} _{b\,\,\mathrm {kali} }$ (dikira dari kanan-atas ke kiri-bawah)

Siri ini bermulaan dengan suksesi. Suksesi adalah penambahan $+1$ ke $a$. Maka, $a_{n+1}=a_{n}+1$. Kemudian adalah operasi aritmetik paling asas - penambahan. Ia boleh difikirkan sebagai suksesi dirantai $n$ kali. Selepas itu, kita menjumpai operasi pendaraban. Ia adalah $a$ ditamabah b kali. Ia diikuti dengan pengeksponenan, iaitu $a$ darabi sendiri $n$ kali. Dan akhir sekali, tetrasi. a dieskeponenkan $n$ kali.

Notasi Tetrasi

Terdapat beberapa notasi dan tatatanda untuk mewakili tetrasi. Ada fungsi yang boleh mewakili hiper-operasi lain, ada yang hanya terhad ke tetrasi;

Nama	Bentuk Notasi	Penerangan
Notasi Rudy Rucker	${}_{}^{n}\!a$	Menggunakan supskrip kiri-atas untuk mewakili tetrasi.
Notasi Anak Panah Atas Knuth	$a\uparrow \uparrow n$$a\uparrow ^{2}n$	1 anak panah bersamaan dengan eksponensiasi, 2 anak panah merupakan tetrasi dan suatu indeks boleh ditambahi ke anak panah untuk menunjukkan hiper-operasi.
Notasi Anak Panah Beranti Conway	$a\rightarrow n\rightarrow 2$	$a\rightarrow n\rightarrow 2=a\uparrow ^{2}n$.
Fungsi Ackermann	${}_{}^{n}\!2=\mathrm {A} (4,n-3)+3$	Kes istimewa di mana $a=2$ boleh diwakili dengan fungsi Ackermann.
Fungsi Iterasi Eksponensial	$\mathrm {exp} _{n}^{a}(1)$	Membenarkan sambungan mudah kepada eksponen berulang daripada nilai awal selain daripada 1.
Notasi Hooshmand	$\mathrm {uxp} _{a}(n)$$a^{\underline {n}}$	Digunakan oleh M. H. Hooshmand, 2006.
Notasi Hiper-Operasi	$a[4]n$$H_{4}(a,n)$	Membenarkan sambungan dengan menambah nombor 4, ini memberikan keluarga hiperoperasi.
Notasi Karet Dua	$a$ ^^ $n$	Tidak biasa digunakan dalam matematik tetapi ia digunakan kerana notasi ini serupa dengan Notasi Anak Panah Atas Conway.

Contoh

Tetrasi adalah operasi yang memberikan nombor bergergasi secara cepat. Nombor di jadual bawah menunjukkan hasil tetrasi. Nombor mengandungi perpuluhan hanya adalah hampiran.

Contoh Tetrasi

$x$	${}_{}^{2}\!x$	${}_{}^{3}\!x$	${}_{}^{4}\!x$	${}_{}^{5}\!x$	${}_{}^{6}\!x$	${}_{}^{7}\!x$	${}_{}^{8}\!x$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$16$	$65536$	$2.0053\times 10^{19728}$	$\mathrm {exp} _{10}^{3}(4.29508)$	$\mathrm {exp} _{10}^{4}(4.29508)$	$\mathrm {exp} _{10}^{5}(4.29508)$
$3$	$27$	$7,625,597,484,987$	$1.258\times 10^{3,638,334,640,024}$	$\mathrm {exp} _{10}^{4}(1.09902)$	$\mathrm {exp} _{10}^{5}(1.09902)$	$\mathrm {exp} _{10}^{6}(1.09902)$	$\mathrm {exp} _{10}^{7}(1.09902)$
$4$	$256$	$1.34078\times 10^{154}$	$\mathrm {exp} _{10}^{3}(2.18726)$	$\mathrm {exp} _{10}^{4}(2.18726)$	$\mathrm {exp} _{10}^{5}(2.18726)$	$\mathrm {exp} _{10}^{6}(2.18726)$	$\mathrm {exp} _{10}^{7}(2.18726)$
$5$	$3125$	$1.91101\times 10^{2184}$	$\mathrm {exp} _{10}^{3}(3.33928)$	$\mathrm {exp} _{10}^{4}(3.33928)$	$\mathrm {exp} _{10}^{5}(3.33928)$	$\mathrm {exp} _{10}^{6}(3.33928)$	$\mathrm {exp} _{10}^{7}(3.33928)$
$6$	$46,656$	$2.65912\times 10^{36,305}$	$\mathrm {exp} _{10}^{3}(4.5597)$$10^{2.0692\times 10^{36,305}}$	$\mathrm {exp} _{10}^{4}(4.5597)$	$\mathrm {exp} _{10}^{5}(4.5597)$	$\mathrm {exp} _{10}^{6}(4.5597)$	$\mathrm {exp} _{10}^{7}(4.5597)$
$7$	$823,543$	$3.75982\times 10^{695,974}$	$\mathrm {exp} _{10}^{3}(5.84259)$	$\mathrm {exp} _{10}^{4}(5.84259)$	$\mathrm {exp} _{10}^{5}(5.84259)$	$\mathrm {exp} _{10}^{6}(5.84259)$	$\mathrm {exp} _{10}^{7}(5.84259)$

Ekstensi Asas

Tetrasi boleh dilanjutkan dalam dua cara berbeza; dalam persamaan ${}_{}^{n}\!a$, kedua-dua tapak $a$ dan ketinggian $n$ boleh digeneralisasikan menggunakan takrifan dan sifat tetrasi. Walaupun asas dan ketinggian boleh dilanjutkan melebihi integer bukan negatif kepada domain yang berbeza, termasuk ${}_{}^{n}\!0$, fungsi kompleks seperti ${}_{}^{n}\!i$, dan ketinggian $n$ tak terhingga, sifat tetrasi yang lebih terhad mengurangkan keupayaan untuk melanjutkan tetrasi.

Ekstensi domain untuk asas

Rencana ini adalah sebuah rencana tunas. Anda boleh membantu Wikipedia untuk mengembangkannya.