Teorem asas aritmetik

Jangan dikelirukan dengan Teorem asas algebra.

Teorem pemfaktoran unik telah dibuktikan benar oleh Gauss dalam buku tahun 1801 beliau, Disquisitiones Arithmeticae. Dalam karya ini, Gauss telah menggunakan teorem asas ini untuk membuktikan hukum kesalingan kuadratik.

Dalam teori nombor, teorem asas aritmetik, juga dikenali sebagai teorem pemfaktoran unik atau teorem pemfaktoran perdana unik, menyatakan yang setiap integer lebih daripada 1 adalah sama ada nombor perdana ataupun hasil darab beberapa nombor perdana, dan hasil darab ini, termasuklah kuasa faktor-faktor, adalah unik untuk semua nombor. Misalnya,

1200 = 2⁴ × 3¹ × 5² = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 2 = dll.

Teorem ini menyatakan dua perkara: pertama, bahawa 1200 boleh dinyatakan sebagai hasil darab nombor-nombor perdana, dan kedua, dengan cara apa sekalipun, akan sentiasa ada hanya empat angka 2, satu angka 3, dua angka 5, dan tiada nombor perdana lain dalam hasil darabnya.

Adalah perlu bagi faktor-faktor yang dinyatakan dalam teorem ini bersifat perdana: pemfaktoran dengan nombor gubahan boleh jadi tidak unik (misalnya, 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Teorem ini adalah salah satu sebab utama mengapa 1 tidak dikira sebagai nombor perdana: jika 1 adalah nombor perdana, pemfaktoran bagi sebarang nombor tidak akan menjadi unik kerana, sebagai contoh, 2 boleh sama dengan 2 × 1 dan 2 × 1 × 1 dan seterusnya.

Sejarah

Buku VII, proposisi 30 dan 32 Euclid's Elements adalah pada dasarnya pernyataan dan bukti bagi teorem asas ini.

Jika dua angka dengan mendarabkan satu sama lain membentuk sesuatu

nombor, dan sebarang nombor perdana mengukur hasil darab tersebut, ia akan

juga mengukur salah satu daripada nombor asal.

— Euclid, Elements Buku VII, Proposisi 30

Proposisi 30 juga dikenali sebagai lema Euclid, dan ia adalah kunci dalam pembuktian teorem asas aritmetik.

Sebarang nombor gubahan diukur oleh beberapa nombor perdana.

— Euclid, Elements Buku VII, Proposisi 31

Proposisi 31 diterbitkan daripada proposisi 30.

Sebarang nombor adalah sama ada nombor perdana atau diukur oleh beberapa nombor perdana.

— Euclid, Elements Buku VII, Proposisi 32

Proposisi 32 diterbitkan daripada proposisi 31.

Artikel 16 Disquisitiones Arithmeticae Gauss adalah pernyataan dan pembuktian moden awal yang menggunakan aritmetik modular.

Aplikasi

Perwakilan kanonik integer positif

Setiap integer positif n > 1 boleh diwakilkan dalam hanya satu cara sebagai hasil darab nombor perdana dengan kuasa:

$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$

di mana p₁ < p₂ < ... < p_k adalah nombor perdana dan α_i adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa hasil darab kosong adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan k = 0).

Perwakilan ini dinamakan perwakilan kanonik untuk n, atau bentuk piawai bagi n.

Misalnya 999 = 3³ × 37, 1000 = 2³ × 5³, 1001 = 7 × 11 × 13

Perhatikan bahawa faktor-faktor p⁰ = 1 boleh diletakkan tanpa mengubah nilai n (contohnya, 1000 = 2³ × 3⁰ × 5³). Malah, sebarang integer positif boleh diwakili secara unik sebagai satu hasil darab tak terhingga semua nombor perdana positif,

$n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod p_{i}^{n_{i}},$

di mana sejumlah terhad n_i adalah integer positif, dan selebihnya adalah sifar. Dengan membolehkan eksponen bernilai negatif, nombor-nombor nisbah positif juga boleh diwakili bentuk kanonik.

Operasi aritmetik

Perwakilan kanonik, jika diketahui bentuknya, dapat memudahkan pengiraan hasil darab, pembahagi sepunya terbesar (gcd) dan gandaan sepunya terkecil (lcm):

$a\cdot b=2^{a_{2}+b_{2}}\,3^{a_{3}+b_{3}}\,5^{a_{5}+b_{5}}\,7^{a_{7}+b_{7}}\cdots =\prod p_{i}^{a_{p_{i}}+b_{p_{i}}},$

$\gcd(a,b)=2^{\min(a_{2},b_{2})}\,3^{\min(a_{3},b_{3})}\,5^{\min(a_{5},b_{5})}\,7^{\min(a_{7},b_{7})}\cdots =\prod p_{i}^{\min(a_{p_{i}},b_{p_{i}})},$

$\operatorname {lcm} (a,b)=2^{\max(a_{2},b_{2})}\,3^{\max(a_{3},b_{3})}\,5^{\max(a_{5},b_{5})}\,7^{\max(a_{7},b_{7})}\cdots =\prod p_{i}^{\max(a_{p_{i}},b_{p_{i}})}.$

Namun, oleh sebab pemfaktoran integer bagi integer-integer besar adalah lebih sukar daripada pengiraan hasil darab, gcd atau lcm angka-angka tersebut, formula-formula di atas tidak banyak digunakan pada praktiknya.

Fungsi aritmetik

Rencana utama: Fungsi aritmetik

Pelbagai fungsi aritmetik ditakrifkan menggunakan perlambangan kanonik. Khususnya, nilai-nilai fungsi-fungsi bertambahan dan berdaraban ditentukan oleh nilai-nilainya pada kuasa nombor-nombor perdana.

Pembuktian

Pembuktian ini menggunakan lema Euclid (Elements VII, 30): jika satu nombor perdana p membahagi hasil darab dua nombor asli a dan b, maka sama ada p membahagi a atau p membahagi b (atau kedua-duanya).

Kewujudan

Kita perlu tunjukkan yang setiap integer yang lebih besar daripada 1 adalah hasil darab nombor perdana. Melalui aruhan: andaikan hal tersebut adalah benar untuk semua nombor antara 1 dengan n. Jika n adalah nombor perdana, maka tidak perlu dibuktikan apa-apa lagi (satu nombor perdana adalah hasil darab nombor perdana yang tidak penting, kerana ia hanyalah satu "hasil darab" dengan satu faktor sahaja). Jika tidak, ada terdapat integer a dan b, di mana n = ab, dan 1 < a ≤ b < n. Melalui hipotesis aruhan, a = p₁p₂...p_j dan b = q₁q₂...q_k adalah hasil darab nombor-nombor perdana. Tetapi dengan ini n = ab = p₁p₂...p_jq₁q₂...q_k adalah hasil darab nombor-nombor perdana.

Keunikan

Andaikan yang s > 1 ialah hasil darab nombor-nombor perdana yang mempunyai dua perwakilan:

${\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}$

Kita perlu tunjukkan bahawa m = n dan q_j adalah susunan semula p_i.

Mengikut lema Euclid, p₁ pasti membahagi salah satu daripada q_j; labelkan semula q_j jika perlu, katakanlah yang p₁ membahagi q₁. Tetapi q₁ adalah nombor perdana, maka pembahaginya hanyalah 1 dan angka itu sendiri. Maka, p₁ = q₁, lantas

${\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}}}&=p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}$

Menggunakan taakulan yang sama, p₂ pasti sama dengan salah satu daripada q_j yang tinggal. Dengan melabel semula jika perlu, katalah p₂ = q₂. Kemudian

${\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}p_{2}}}&=p_{3}\cdots p_{m}\\&=q_{3}\cdots q_{n}.\end{aligned}}$

Ini boleh dilakukan untuk setiap satu p_i m, menunjukkan bahawa m ≤ n dan setiap p_i ialah q_j. Dengan menggunakan hujah yang sama dengan $p$ dan $q$ diterbalikkan, boleh ditunjukkan bahawa n ≤ m (oleh itu m = n) dan setiap q_j ialah p_i.

Rujukan

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemah daripada bahasa Latin ke bahasa Inggeris dan Jerman. Edisi bahasa Jerman menyertakan semua hasil kerja beliau dalam teori nombor: semua pembuktian kesalingan kuadratik, penentuan tanda bagi hasil tambah Gauss, kajian berkenaan kesalingan bikuadratik, dan nota-nota yang tidak diterbitkan.

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (penterjemah ke bahasa Inggeris) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Edisi kedua dengan pembetulan), New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (penterjemah ke bahasa Jerman) (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Edisi kedua), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Dua monograf yang Gauss telah terbitkan berkenaan kesalingan bikuadratik mempunyai seksyen-seksyen yang dinomborkan secara berturutan: yang pertama mempunyai §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Nota-nota kaki yang merujuk monograf ini dinyatakan dalam bentuk "Gauss, BQ, § n". Nota-nota kaki yang menrujuk Disquisitiones Arithmeticae dinyatakan dalam bentuk "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Semua ini terdapat dalam Werke Gauss, Jilid II, ms. 65–92 dan 93–148; terjemahan Jerman adalah dalam ms. 511–533 dan 534–586 dalam Disquisitiones edisi Jerman.

• Baker, Alan (1984), A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1
• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (ed. Second Edition Unabridged), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5
• Templat:Hardy and Wright
• A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004), "Fundamental theorem of arithmetic", Formalized Mathematics, 12 (2): 179–185
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (ed. 2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950.
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766.
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
• Eric W. Weisstein, Abnormal number di MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic di MathWorld.