Penutatan

Putaran, liukan, dan nutatan dalam kecondongan sebuah planet

Penutatan, nutatan atau nutasi (Jawi: ‏ڤنوتاتن، نوتاتن، نوتاسي‎code: ms is deprecated ‎; daripada Latin nūtātiō, bermaksud "anggukan, goyangan, senggukan") ialah gerakan senggukan, goyangan atau anggukan dalam paksi putaran objek simetri paksi yang sebahagian besarnya, seperti giroskop, planet atau peluru dalam penerbangan, atau sebagai tingkah laku yang dimaksudkan untuk sesuatu mekanisme. Dalam rangka rujukan yang sesuai, ia boleh ditakrifkan sebagai perubahan dalam sudut Euler kedua. Jika ia tidak disebabkan oleh daya luar badan, ia dipanggil penutatan bebas atau nutasi Euler.^[1] Nutasi tulen ialah pergerakan paksi putaran supaya sudut Euler pertama adalah malar. Oleh itu, dapat dilihat bahawa anak panah merah bulat dalam rajah menunjukkan kesan gabungan liukan dan nutasi, manakala nutasi tanpa liukan hanya akan mengubah kecondongan dari keadaan menegak (sudut Euler kedua). Walau bagaimanapun, dalam dinamik kapal angkasa, liukan (perubahan dalam sudut Euler pertama) juga kadang-kadang dirujuk sebagai nutasi.^[2]

Dalam jasad tegar

Jika gasing ditetapkan pada kecondongan pada permukaan mendatar dan berputar dengan pantas, paksi putarannya mula mendahului mengenai menegak. Selepas selang masa yang singkat, bahagian atas mendap ke dalam gerakan di mana setiap titik pada paksi putarannya mengikuti laluan bulat. Daya graviti menegak menghasilkan tork mendatar $τ$ tentang titik sentuhan dengan permukaan; bahagian atas berputar mengikut arah tork ini dengan halaju sudut $Ω$ supaya pada bila-bila masa

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,

(hasil silang vektor)

iaitu $L$ ialah momentum sudut serta-merta bahagian atas.^[3]

Pada mulanya, bagaimanapun, tiada liukan, dan bahagian atas gasing jatuh ke sisi dan ke bawah, dengan itu mencondong. Ini menimbulkan ketidakseimbangan dalam tork yang memulakan liukan. Ketika jatuh, gasing melebihi jumlah kecondongan yang ia akan bergerak secara berterusan dan kemudian berayun lebih kurang tahap ini. Ayunan ini dipanggil nutasi. Jika gerakan itu dilembapkan, ayunan akan berkurangan sehingga gerakan itu adalah liukan yang stabil.^[3]^[4]

Fizik nutasi dalam gasing dan giroskop boleh diterokai menggunakan model gasing simetri berat dengan hujungnya tetap. (Puncak simetri ialah satu dengan simetri putaran, atau lebih umum satu iaitu dua daripada tiga momen utama inersia adalah sama.) Pada mulanya, kesan geseran diabaikan. Pergerakan gasing boleh digambarkan oleh tiga sudut Euler: sudut kecondongan $θ$ antara paksi simetri gasing dan bahagian menegak (sudut Euler kedua); azimut $φ$ gasing pada bahagian menegak (sudut Euler pertama); dan sudut putaran $ψ$ gasing mengenai paksinya sendiri (sudut Euler ketiga). Oleh itu, liukan ialah perubahan dalam $φ$ dan nutasi ialah perubahan dalam $θ$ . ^[5]

Jika gasing mempunyai jisim $M$ dan pusat jisimnya berada pada jarak $l$ dari titik pangsi, keupayaan gravitinya berbanding dengan satah sokongan ialah

V=Mgl\cos(\theta ).

Dalam sistem koordinat di mana paksi $z$ ialah paksi simetri, bahagian atas mempunyai halaju sudut $ω 1, ω 2, ω 3$ dan momen inersia $I 1, I 2, I 3$ mengenai paksi $x, y$ , dan $z$ . Oleh kerana kita mengambil bahagian atas simetri, kita mempunyai $I 1$ = $I 2$ . Tenaga kinetiknya ialah

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.

Dari segi sudut Euler, ini adalah

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.

Jika persamaan Euler-Lagrange diselesaikan untuk sistem ini, didapati bahawa gerakan bergantung kepada dua pemalar $a$ dan $b$ (masing-masing berkaitan dengan pemalar gerakan). Kadar liukan berkaitan dengan kecondongan oleh

{\dot {\phi }}={\frac {b-a\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.

Kecondongan ditentukan oleh persamaan pembezaan untuk $u = cos(θ)$ bagi bentuk

{\dot {u}}^{2}=f(u)

di mana $f$ ialah polinomial padu yang bergantung pada parameter $a$ dan $b$ serta pemalar yang berkaitan dengan tenaga dan tork graviti. Punca-punca $f$ ialah kosinus bagi sudut di mana kadar perubahan $θ$ ialah sifar. Salah satu daripada ini tidak berkaitan dengan sudut fizikal; dua yang lain menentukan sempadan atas dan bawah pada sudut kecondongan, di antaranya giroskop berayun.^[6]

Astronomi

Nutasi planet berlaku kerana kesan graviti jasad lain menyebabkan kelajuan liukan paksinya berubah mengikut masa, supaya kelajuan tidak tetap. Ahli astronomi Inggeris James Bradley menemui nutasi paksi Bumi pada tahun 1728.

Bumi

Nutasi secara halus mengubah kecondongan paksi Bumi terhadap satah ekliptik, mengalihkan bulatan utama latitud yang ditakrifkan oleh kecondongan Bumi (bulatan tropika dan bulatan kutub).

Dalam kes Bumi, sumber utama daya pasang surut ialah Matahari dan Bulan, yang secara berterusan menukar lokasi relatif antara satu sama lain dan dengan itu menyebabkan nutasi dalam paksi Bumi. Komponen terbesar nutasi Bumi mempunyai tempoh 18.6 tahun, sama seperti pendahuluan nod orbit Bulan.^[1] Walau bagaimanapun, terdapat istilah berkala penting lain yang mesti diambil kira bergantung pada ketepatan keputusan yang dikehendaki. Penerangan matematik (set persamaan) yang mewakili nutasi dipanggil "teori pemakanan". Dalam teori, parameter diselaraskan dalam kaedah yang lebih atau kurang ad hoc untuk mendapatkan kesesuaian terbaik dengan data. Dinamik jasad tegar mudah tidak memberikan teori terbaik; seseorang perlu mengambil kira ubah bentuk Bumi, termasuk ketakanjalan mantel dan perubahan dalam sempadan teras-mantel.^[7]

Jangka tempoh utama nutasi adalah disebabkan oleh rosot kembali garis nod Bulan dan mempunyai tempoh yang sama iaitu 6798 hari (18.61 tahun). Ia mencapai tambah tolak 17″ dalam longitud dan 9.2″ dalam kecondongan.^[8] Semua jangka tempoh lain adalah lebih kecil; terbesar yang seterusnya, dengan tempoh 183 hari (0.5 tahun), masing-masing mempunyai amplitud 1.3″ dan 0.6″. Tempoh semua jangka yang lebih besar daripada 0.0001″ (kira-kira setepat yang boleh diukur oleh teknologi yang ada) terletak antara 5.5 dan 6798 hari; atas sebab tertentu (seperti tempoh pasang surut laut) mereka nampaknya mengelakkan julat dari 34.8 hingga 91 hari, jadi ia adalah kebiasaan untuk membahagikan nutasi kepada tempoh jangka panjang dan jangka pendek. Tempoh jangka panjang dikira dan disebut dalam almanak, manakala pembetulan tambahan disebabkan tempoh jangka pendek biasanya diambil dari jadual. Mereka juga boleh dikira dari hari Julian mengikut metodologi IAU 2000B.^[9]

Lihat juga

Nota

^ ^a ^b Lowrie, William (2007). Fundamentals of Geophysics (ed. 2nd). Cambridge [u.a.]: Cambridge University Press. m/s. 58–59. ISBN 9780521675963.
^ Kasdin, N. Jeremy; Paley, Derek A. (2010). Engineering dynamics : a comprehensive introduction. Princeton, N.J.: Princeton University Press. m/s. 526–527. ISBN 9780691135373.
^ ^a ^b Feynman, Leighton & Sands 2011
^ Goldstein 1980
^ Goldstein 1980
^ Goldstein 1980
^ "Resolution 83 on non-rigid Earth nutation theory". International Earth Rotation and Reference Systems Service. Federal Agency for Cartography and Geodesy. 2 April 2009. Dicapai pada 2012-08-06.
^ "Basics of Space Flight, Chapter 2". Jet Propulsion Laboratory/NASA. 28 August 2013. Dicapai pada 2015-03-26.
^ "NeoProgrammics - Science Computations".

Rujukan

The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 20: Rotation in space
Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (ed. 2d). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0201029189.
Lambeck, Kurt (2005). The earth's variable rotation : geophysical causes and consequences (ed. Digitally printed 1st pbk.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521673303.
Munk, Walter H.; MacDonald, Gordon J.F. (1975). The rotation of the earth : a geophysical discussion. Reprint. with corr. Cambridge, Eng.: Cambridge University Press. ISBN 9780521207782.

[Lowrie-1] Lowrie, William (2007). Fundamentals of Geophysics (ed. 2nd). Cambridge [u.a.]: Cambridge University Press. m/s. 58–59. ISBN 9780521675963.

[2] Kasdin, N. Jeremy; Paley, Derek A. (2010). Engineering dynamics : a comprehensive introduction. Princeton, N.J.: Princeton University Press. m/s. 526–527. ISBN 9780691135373.

[Feynman-3] Feynman, Leighton & Sands 2011

[Goldstein220-4] Goldstein 1980

[Goldstein217-5] Goldstein 1980

[6] Goldstein 1980

[7] "Resolution 83 on non-rigid Earth nutation theory". International Earth Rotation and Reference Systems Service. Federal Agency for Cartography and Geodesy. 2 April 2009. Dicapai pada 2012-08-06.

[8] "Basics of Space Flight, Chapter 2". Jet Propulsion Laboratory/NASA. 28 August 2013. Dicapai pada 2015-03-26.

[9] "NeoProgrammics - Science Computations".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]