Nombor segitiga

Nombor segi tiga mengira objek yang disusun dalam segi tiga sama. Nombor segi tiga ialah sejenis nombor kiasan, contoh lain ialah nombor segi empat sama dan nombor kubus. Nombor segi tiga yang ke- $n$ ialah bilangan titik dalam susunan segi tiga dengan $n$ titik pada setiap sisi, dan adalah sama dengan hasil tambah $n$ nombor asli dari 1 hingga $n$ . Urutan nombor segi tiga, bermula dengan nombor segi tiga ke-0, ialah:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(jujukan A000217 dalam OEIS)

Formula

Nombor segi tiga diberikan oleh formula eksplisit berikut, di mana $\textstyle {n+1 \choose 2}$ ialah tatatanda bagi pekali binomial. Ia mewakili bilangan pasangan berbeza yang boleh dipilih $n + 1$ objek, dan ia dibaca dengan kuat sebagai " $n$ tambah satu pilih dua".

Hakikat bahawa ke- $n$ nombor segi tiga ke sama $n(n+1)/2$ boleh digambarkan menggunakan bukti visual.^[1] Bagi setiap nombor segi tiga $T_{n}$ , bayangkan susunan objek "separuh segi empat tepat" sepadan dengan nombor segi tiga, seperti dalam rajah di bawah. Menyalin susunan ini dan memutarkannya untuk mencipta angka segi empat tepat menggandakan bilangan objek, menghasilkan segi empat tepat dengan dimensi $n\times (n+1)$ , yang juga merupakan bilangan objek dalam segi empat tepat. Jelas sekali, nombor segi tiga itu sendiri sentiasa tepat separuh daripada bilangan objek dalam rajah sedemikian, atau: $T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$ . Formula ini boleh dibuktikan secara formal menggunakan aruhan matematik.^[2] Ia jelas benar untuk $1$ :

$T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.$

Sekarang anggap bahawa, untuk beberapa nombor asli $m$ , $T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}$ . Menambah $m+1$ kepada hasil ini:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}$

jadi jika formula itu benar untuk $m$ , ia adalah benar untuk $m+1$ . Oleh kerana ia jelas benar untuk 1, oleh itu adalah benar untuk $2$ , $3$ , dan akhirnya semua nombor asli $n$ secara induksi.

Ahli matematik dan saintis Jerman, Carl Friedrich Gauss, dikatakan telah menemui hubungan ini pada awal mudanya, dengan membiak $n / 2$ pasangan nombor dalam jumlah dengan nilai setiap pasangan $n + 1$ .^[3] Walau bagaimanapun, tanpa mengira kebenaran cerita ini, Gauss bukanlah orang pertama yang menemui formula ini, dan ada yang mendapati kemungkinan asalnya berasal dari Pythagorean pada abad ke-5 SM..^[4] Kedua-dua formula itu diterangkan oleh sami Ireland Dicuil pada kira-kira 816 dalam Computusnya.^[5] Terjemahan Bahasa Inggeris untuk akaun Dicuil tersedia.^[6]

Nombor segi tiga $T n$ menyelesaikan masalah jabat tangan mengira bilangan jabat tangan jika setiap orang dalam bilik dengan $n + 1$ orang berjabat tangan sekali dengan setiap orang. Dengan kata lain, penyelesaian kepada masalah jabat tangan $n$ orang adalah $T n -1$ .^[7] Fungsinya $T$ ialah analog aditif bagi fungsi faktorial, yang mana satu products daripada integer dari 1 hingga $n$ .

Fungsi yang sama ini dicipta sebagai "Terminal function"^[8] oleh Donald Knuth's The Art of Computer Programming dan dilambangkan n? (analog untuk tatatanda faktorial n!)

Contohnya,10 terminal adalah bersamaan dengan:

$10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$

yang sudah tentu, sepadan dengan nombor segitiga kesepuluh.

Bilangan segmen garisan antara pasangan titik terdekat dalam segi tiga boleh diwakili dari segi bilangan titik atau dengan hubungan berulang: $L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.$

Dalam had, nisbah antara dua nombor, titik dan segmen garis ialah: $\lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.$

Perkaitan dengan nombor kiasan yang lain

Nombor segi tiga mempunyai pelbagai jenis hubungan dengan nombor kiasan yang lain.

Secara ringkasnya, hasil tambah dua nombor segi tiga berturut-turut ialah nombor kuasa dua, dengan jumlahnya ialah kuasa dua perbezaan antara kedua-duanya (dan dengan itu perbezaan kedua-duanya ialah punca kuasa dua jumlah itu). Secara algebra, $T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.$

Fakta ini boleh ditunjukkan secara grafik dengan meletakkan segi tiga dalam arah yang bertentangan untuk mencipta segi empat sama:

Gandaan nombor segi tiga, seperti dalam bukti visual daripada bahagian di atas § Formula, dipanggil nombor pronik.

Terdapat tak terhingga banyak nombor segi tiga yang juga nombor segi empat sama; contohnya, 1, 36, 1225. Sebahagian daripadanya boleh dijana oleh formula rekursif mudah: $S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)$ dengan $S_{1}=1.$

Semua nombor segi tiga segi empat sama didapati daripada rekursi: $S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2$ with $S_{0}=0$ and $S_{1}=1.$

Juga, segi empat sama ke- $n$ nombor segi tiga ke adalah sama dengan hasil tambah kubus bagi integer 1 hingga $n$ . Ini juga boleh dinyatakan sebagai $\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.$

Jumlah yang pertama $n$ nombor segi tiga ialah ke- $n$ nombor tetrahedral ke: $\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.$

Secara umumnya, perbezaan antara nombor m-gonal ke-n dan nombor ke-n (m + 1)-gonal ialah nombor segi tiga (n − 1). Contohnya, nombor heptagonal keenam (81) tolak nombor heksagon keenam (66) sama dengan nombor segi tiga kelima, 15. Setiap nombor segi tiga lain ialah nombor heksagon. Mengetahui nombor segi tiga, seseorang boleh mengira sebarang nombor poligon berpusat; nombor k-gonal berpusat ke-n diperoleh dengan formula: $Ck_{n}=kT_{n-1}+1$

di mana T ialah nombor segi tiga.

Perbezaan positif dua nombor segi tiga ialah nombor trapezoid.

Corak yang ditemui untuk nombor segi tiga $\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}$ dan untuk nombor tetrahedral $\sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},$ yang menggunakan pekali binomial, boleh digeneralisasikan. Ini membawa kepada formula:^[9] $\sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}$

Sifat-sifat lain

Nombor segi tiga sepadan dengan kes darjah pertama formula Faulhaber.

Nombor segi tiga berselang-seli (1, 6, 15, 28, ...) juga ialah nombor heksagon.

Setiap nombor genap sempurna adalah segi tiga (dan juga heksagon), diberikan oleh formula: $M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}$ di mana $M p$ ialah perdana Mersenne. Tiada nombor sempurna ganjil diketahui; oleh itu, semua nombor sempurna yang diketahui adalah segi tiga.

Sebagai contoh, nombor segi tiga ketiga ialah (3 × 2 =) 6, yang ketujuh ialah (7 × 4 =) 28, yang ke-31 ialah (31 × 16 =) 496, dan yang ke-127 ialah (127 × 64 =) 8128.

Digit akhir bagi nombor segi tiga ialah 0, 1, 3, 5, 6, atau 8, dan oleh itu nombor tersebut tidak pernah berakhir dengan 2, 4, 7, atau 9. 3 akhir mesti didahului dengan 0 atau 5; 8 akhir mesti didahului dengan 2 atau 7.

Dalam asas 10, punca digital bagi nombor segi tiga bukan sifar ialah 1, 3, 6, atau 9. Oleh itu, setiap nombor segi tiga sama ada boleh dibahagikan dengan tiga atau mempunyai baki 1 apabila dibahagikan dengan 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

Corak akar digital untuk nombor segi tiga, mengulangi setiap sembilan sebutan, seperti yang ditunjukkan di atas, ialah "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Sebaliknya pernyataan di atas, bagaimanapun, tidak selalu benar. Sebagai contoh, punca digital bagi 12, yang bukan nombor segi tiga, ialah 3 dan boleh dibahagikan dengan tiga.

Jika $x$ ialah nombor segi tiga, maka $ax + b$ juga merupakan nombor segi tiga, diberi $a$ ialah segi empat sama ganjil dan $b = a - 1 / 8$ . Perhatikan bahawa $b$ akan sentiasa menjadi nombor segi tiga, kerana $8 T n + 1 = (2 n + 1) 2$ , yang menghasilkan semua petak ganjil didedahkan dengan mendarab nombor segi tiga dengan 8 dan menambah 1, dan proses untuk $b$ diberi $a$ ialah segi empat sama ganjil ialah songsang bagi operasi ini. Beberapa pasangan pertama borang ini (tidak dikira $1 x + 0$ ) ialah: $9 x + 1$ , $25 x + 3$ , $49 x + 6$ , $81 x + 10$ , $121 x + 15$ , $169 x + 21$ , dan sebagainya. Diberi $x$ sama dengan $T n$ , formula ini menghasilkan $T 3 n + 1$ , $T 5 n + 2$ , $T 7 n + 3$ , $T 9 n + 4$ , dan sebagainya.

Hasil tambah bagi salingan semua nombor segi tiga bukan sifar ialah: $\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.$

Ini boleh ditunjukkan dengan menggunakan jumlah asas siri teleskop: $\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.$

Dua formula lain mengenai nombor segi tiga ialah: $T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab$ dan $T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},$ kedua-duanya boleh diwujudkan dengan mudah sama ada dengan melihat corak titik (lihat di atas) atau dengan beberapa algebra mudah.

Pada tahun 1796, Gauss mendapati bahawa setiap integer positif boleh diwakili sebagai jumlah tiga nombor segi tiga (mungkin termasuk $T 0$ = 0), menulis dalam diarinya kata-katanya yang terkenal, "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Teorem ini tidak membayangkan bahawa nombor segi tiga adalah berbeza (seperti dalam kes 20 = 10 + 10 + 0), dan penyelesaian dengan tepat tiga nombor segi tiga bukan sifar mesti wujud. Ini adalah kes khas teorem nombor poligon Fermat.

Nombor segi tiga terbesar dalam bentuk $2 k - 1$ ialah 4095 (persamaan Ramanujan–Nagell).

Wacław Franciszek Sierpiński mengemukakan soalan tentang kewujudan empat nombor segi tiga yang berbeza dalam janjang geometri. Ia telah disangka oleh ahli matematik Poland Kazimierz Szymiczek sebagai mustahil dan kemudiannya dibuktikan oleh Fang dan Chen (2007).^[10]^[11]

Formula yang melibatkan menyatakan integer sebagai jumlah nombor segi tiga disambungkan kepada fungsi theta, khususnya fungsi theta Ramanujan.^[12]^[13]

Hasil tambah dua nombor segi tiga berturut-turut ialah nombor kuasa dua sejak:^[14]^[15]

T_{n-1}+T_{n}

={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)

={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}

=n^{2}

Sifat ini, yang dikenali sebagai teorem Theon of Smyrna,^[16] ditunjukkan secara visual dalam jumlah berikut, yang mewakili $T_{4}+T_{5}=5^{2}$ sebagai jumlah digit:

${\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}$

Aplikasi

Rangkaian n peranti pengkomputeran yang bersambung sepenuhnya memerlukan kehadiran $T n - 1$ kabel atau sambungan lain; ini bersamaan dengan masalah jabat tangan yang dinyatakan di atas.

Dalam format kejohanan yang menggunakan peringkat kumpulan round-robin, bilangan perlawanan yang perlu dimainkan antara $n$ pasukan adalah sama dengan numbe segi tigar $T n - 1$ . Sebagai contoh, peringkat kumpulan dengan 4 pasukan memerlukan 6 perlawanan, dan peringkat kumpulan dengan 8 pasukan memerlukan 28 perlawanan. Ini juga bersamaan dengan masalah jabat tangan dan masalah rangkaian yang disambungkan sepenuhnya.

Satu cara untuk mengira susut nilai aset ialah kaedah angka jumlah tahun, yang melibatkan pencarian $T n$ , di mana $n$ ialah panjang dalam tahun hayat berguna aset. Setiap tahun, barang itu hilang $(b - s) \times n - y / T n$ , di mana $b$ ialah nilai permulaan item (dalam unit mata wang), $s$ ialah nilai salvage akhir, $n$ ialah jumlah tahun item itu boleh digunakan, dan y tahun semasa dalam jadual susut nilai. Di bawah kaedah ini, item dengan hayat boleh guna sebanyak $n$ = 4 tahun akan rugi 4/10 daripada nilai "boleh hilang" pada tahun pertama, 3/10 pada yang kedua, 2/10 dalam yang ketiga, dan 1/10 dalam yang keempat, mengumpul jumlah susut nilai sebanyak 10/10 (keseluruhan) nilai hilang.

Pereka permainan papan Geoffrey Engelstein dan Isaac Shalev menggambarkan nombor segi tiga sebagai telah mencapai "hampir status mantra atau koan dalam kalangan pereka permainan", menggambarkannya sebagai "sangat intuitif" dan "ditonjolkan dalam sejumlah besar permainan, [membuktikan] sangat serba boleh. dalam menyediakan ganjaran yang semakin meningkat untuk set yang lebih besar tanpa terlalu memberi insentif pengkhususan dengan mengecualikan semua strategi lain".^[17]

Punca segitiga dan ujian untuk nombor segi tiga

Dengan analogi dengan punca kuasa dua bagi $x$ , seseorang boleh mentakrifkan punca segi tiga (positif) bagi x sebagai nombor n supaya $T n = x$ :^[18] $n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}$

yang mengikuti serta-merta daripada formula kuadratik. Jadi integer x ialah segi tiga jika dan hanya jika 8x + 1 ialah segi empat sama. Setara, jika punca segi tiga positif n bagi x ialah integer, maka x ialah nombor segi tiga ke-n.^[18]

Nama alternatif

Seperti yang dinyatakan, nama alternatif yang dicadangkan oleh Donald Knuth, dengan analogi kepada faktorial, adalah "terminal", dengan notasi n? untuk nombor segi tiga ke-^[19] Walau bagaimanapun, walaupun beberapa sumber lain menggunakan nama dan notasi ini,^[20] mereka tidak digunakan secara meluas.

Rujukan

^ "Triangular Number Sequence". Math Is Fun.
^ Spivak, Michael (2008). Calculus (ed. 4th). Houston, Texas: Publish or Perish. m/s. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.
^ Hayes, Brian. "Gauss's Day of Reckoning". American Scientist. Computing Science. Diarkibkan daripada yang asal pada 2015-04-02. Dicapai pada 2014-04-16.
^ Eves, Howard. "Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS". Mathcentral. Dicapai pada 28 March 2015.
^ Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.
^ Ross, H.E. & Knott, B.I."Dicuil (9th century) on triangular and square numbers." British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.
^ "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". MathCircles.org. Diarkibkan daripada yang asal pada 10 March 2016. Dicapai pada 12 January 2022.
^ Knuth, Donald. The Art of Computer Programming. 1 (ed. 3rd). m/s. 48.
^ Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). "Die $k$ -dimensionale Champagnerpyramide" (PDF). Mathematische Semesterberichte (dalam bahasa Jerman). 66: 89–100. doi:10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. S2CID 125426184.
^ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
^ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
^ Liu, Zhi-Guo (2003-12-01). "An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers". The Ramanujan Journal (dalam bahasa Inggeris). 7 (4): 407–434. doi:10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN 1382-4090. S2CID 122221070.
^ Sun, Zhi-Hong (2016-01-24). "Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers". arXiv:1601.06378 [math.NT].
^ Beldon, Tom; Gardiner, Tony (2002). "Triangular Numbers and Perfect Squares". The Mathematical Gazette. 86 (507): 423–431. JSTOR 3621134. Dicapai pada 25 April 2024.
^ Eric W. Weisstein. "Triangular Number". Wolfram MathWorld. Dicapai pada 2024-04-14. See equations 18 - 20.
^ Shell-Gellasch, Amy; Thoo, John (October 15, 2015). Algebra in Context: Introductory Algebra from Origins to Applications. Johns Hopkins University Press. m/s. 210. ISBN 9781421417288.
^ Engelstein, Geoffrey; Shalev, Isaac (2019-06-25). Building Blocks of Tabletop Game Design. doi:10.1201/9780429430701. ISBN 978-0-429-43070-1. S2CID 198342061.
^ ^a ^b Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra, 1 (ed. 2nd), J. Johnson and Co., m/s. 332–335
^ Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.
^ Stone, John David (2018), Algorithms for Functional Programming, Springer, m/s. 282, doi:10.1007/978-3-662-57970-1, ISBN 978-3-662-57968-8, S2CID 53079729

Pautan luar

Triangular numbers at cut-the-knot
There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
Eric W. Weisstein, Triangular Number di MathWorld.
Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulas

[1] "Triangular Number Sequence". Math Is Fun.

[2] Spivak, Michael (2008). Calculus (ed. 4th). Houston, Texas: Publish or Perish. m/s. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.

[Gauss-3] Hayes, Brian. "Gauss's Day of Reckoning". American Scientist. Computing Science. Diarkibkan daripada yang asal pada 2015-04-02. Dicapai pada 2014-04-16.

[4] Eves, Howard. "Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS". Mathcentral. Dicapai pada 28 March 2015.

[5] Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.

[6] Ross, H.E. & Knott, B.I."Dicuil (9th century) on triangular and square numbers." British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.

[7] "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". MathCircles.org. Diarkibkan daripada yang asal pada 10 March 2016. Dicapai pada 12 January 2022.

[8] Knuth, Donald. The Art of Computer Programming. 1 (ed. 3rd). m/s. 48.

[9] Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). "Die $k$ -dimensionale Champagnerpyramide" (PDF). Mathematische Semesterberichte (dalam bahasa Jerman). 66: 89–100. doi:10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. S2CID 125426184.

[10] Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression

[11] Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers

[12] Liu, Zhi-Guo (2003-12-01). "An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers". The Ramanujan Journal (dalam bahasa Inggeris). 7 (4): 407–434. doi:10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN 1382-4090. S2CID 122221070.

[13] Sun, Zhi-Hong (2016-01-24). "Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers". arXiv:1601.06378 [math.NT].

[14] Beldon, Tom; Gardiner, Tony (2002). "Triangular Numbers and Perfect Squares". The Mathematical Gazette. 86 (507): 423–431. JSTOR 3621134. Dicapai pada 25 April 2024.

[15] Eric W. Weisstein. "Triangular Number". Wolfram MathWorld. Dicapai pada 2024-04-14. See equations 18 - 20.

[16] Shell-Gellasch, Amy; Thoo, John (October 15, 2015). Algebra in Context: Introductory Algebra from Origins to Applications. Johns Hopkins University Press. m/s. 210. ISBN 9781421417288.

[17] Engelstein, Geoffrey; Shalev, Isaac (2019-06-25). Building Blocks of Tabletop Game Design. doi:10.1201/9780429430701. ISBN 978-0-429-43070-1. S2CID 198342061.

[EulerRoots-18] Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra, 1 (ed. 2nd), J. Johnson and Co., m/s. 332–335

[Donald-19] Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.

[20] Stone, John David (2018), Algorithms for Functional Programming, Springer, m/s. 282, doi:10.1007/978-3-662-57970-1, ISBN 978-3-662-57968-8, S2CID 53079729

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]