Indeks utama

Dalam matematik (dan khususnya dalam kombinatorik), indeks utama (bahasa Inggeris: Major indexcode: en is deprecated ) dari sebuah pilih atur merupakan sebuah jumlah dari kedudukan penurunan permutasi. Dalam simbol, indeks utama dari permutasi $w$ ialah

$\operatorname {maj} (w)=\sum _{w(i)>w(i+1)}i$.

Contohnya, jika $w$ diberikan dalam [[Permutasi#Notasi|notasi garis satu oleh $w=351624$ (iaitu, $w$ ialah permutasi dari $\{1,2,3,4,5,6\}$ sehingga $w(1)=3$, $w(2)=5$, dst.) maka $w$ memiliki penurunan di kedudukan 2 (dari 5 sampai dengan 1) dan 4 (dari 6 sampai dengan 2) dan demikian $\operatorname {maj} (w)=2+4=6$.

Statistik ini dinamakan oleh Major Percy Alexander MacMahon yang ditunjukkan pada tahun 1913 bahawa sebaran dari indeks utama mengenai semua permutasi dari sebuah panjang tetap sama saja dengan sebaran balikan. Iaitu, jumlah permutasi panjang $n$ dengan balikan $k$ sama saja dengan jumlah permutasi panjang $n$ dengan indeks utama sama dengan $k$. (Bilangan-bilangan ini dikenali sebagai bilangan Mahon, juga untuk menghargai MacMahon.) Faktanya, sebuah hasil yang lebih kuat ialah benar: jumlah permutasi panjang $n$ dengan indeks utama $k$ dan balikkan $i$ sama sahaja dengan jumlah permutasi panjang $n$ dengan indeks utama $i$ dan balikkan $k$, iaitu, dua statistik adalah ekuisebaran. Contohnya, jumlah permutasi panjang 4 dengan indeks utama yang diberikan dan jumlah balikannya diberikan dalam jadual di bawah.

${\begin{array}{c|ccccccc}&0&1&2&3&4&5&6\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0&0&0\\2&0&1&2&1&1&0&0\\3&0&1&1&2&1&1&0\\4&0&0&1&1&2&1&0\\5&0&0&0&1&1&1&0\\6&0&0&0&0&0&0&1\end{array}}$

Rujukan

• MacMahon, P. A. (1913). "The indices of permutations and the derivation therefrom of functions of a single variable associated with the permutations of any assemblage of objects". Amer. J. Math. 35 (3): 281–322. doi:10.2307/2370312. JSTOR 2370312.