Hukum de l'Hôpital

Dalam kalkulus, hukum de l'Hôpital (juga dipanggil hukum Bernoulli) menggunakan terbitan untuk membantu mengira limit atau had yang berkaitan dengan sesuatu fungsi. Limit tersebut biasanya pada asalnya sukar untuk ditentukan, tetapi dengan pengaplikasian rumus ini, seseorang dapat mencari limit tersebut dengan lebih mudah. Hukum ini telah dinamakan atas nama ahli matematik Perancis pada kurun ke-17 masihi Guillaume de l'Hôpital, yang telah menerbitkan hukum tersebut dalam bukunya l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes pada tahun 1696 (buku teks pertama untuk pembezaan dalam kalkulus). ^[1]

Namun, sesetengah orang percaya bahawa hukum tersebut telah dijumpai oleh ahli matematik Switzerland, Johann Bernoulli.

Hukum Asas

Katakan f(x) adalah satu fungsi yang boleh dibezakan dan f(x) = u(x)/v(x).

1. Jika : $\lim _{x\to c}u(x)=\lim _{x\to c}v(x)=0$ , maka

\lim _{x\to c}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}\,

2. Jika : $\lim _{x\to c}u(x)=\lim _{x\to c}v(x)=\pm \infty$ , maka

\lim _{x\to c}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}\,

3. Jika : $\lim _{x\to \pm \infty }u(x)=\lim _{x\to \pm \infty }v(x)=0$ , maka

\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {u'(x)}{v'(x)}}\,

4. Jika : $\lim _{x\to \pm \infty }u(x)=\lim _{x\to \pm \infty }v(x)=\pm \infty$ , maka

\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {u'(x)}{v'(x)}}\,

Di bawah adalah salah satu contoh yang melibatkan fungsi sinus dan bentuk 0/0:

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0}\operatorname {sinc} (x)&=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {\sin y}{y}}\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {\cos y}{1}}\\&=1.\end{aligned}}

Berikut pula adalah contoh yang melibatkan ∞/∞:

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}&=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.\end{aligned}}

^ O'Connor, John J. "De_L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Diarkibkan daripada yang asal pada 2015-05-06. Dicapai pada 21 December 2008. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan)