Segi tiga sudut tegak

Segi tiga sudut tegak adalah segi tiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tegak (yaitu, sudut 90 darjah). Hubungan antara sisi dan sudut segi tiga sudut tegak adalah dasar untuk trigonometri.

Sisi yang berseberangan dengan sudut tegak disebut hipotenus (sisi c pada gambar). Sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut kanan disebut kaki. Sisi a dapat dikenal pasti sebagai sisi yang berdekatan dengan sudut B dan berlawanan dengan sudut A, sedangkan sisi b adalah sisi yang berdekatan dengan sudut A dan berlawanan dengan sudut B.

Jika panjang ketiga-tiga sisi segi tiga sudut tegak adalah bilangan bulat, segi tiga tersebut disebut segi tiga Pythagoras dan panjang sisinya secara kolektif dikenal sebagai triplet Pythagoras.

Sifat utama

Luas

Seperti mana-mana segi tiga lazim, luasnya sama dengan setengah darab panjang kaki darab tinggi yang sesuai. Dalam segi tiga sudut tegak, jika satu kaki diambil kira, maka yang lainnya adalah tinggi, maka luas segi tiga sudut tegak adalah setengah darab kedua-dua kaki. Sebagai rumus, Luas T adalah

T={\tfrac {1}{2}}ab

di mana a dan b adalah kaki-kaki segi tiga. Jika satu bulatan dalam bertangen dengan AB pada titik P, maka dengan mewakilkan semi-perimeter(a + b + c) / 2 sebagai s, kita miliki PA = s − a dan PB = s − b, dan luas diberikan oleh

T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).

Rumus ini hanya terpakai bagi segi tiga sudut tegak.^[1]

Tinggi

Jika tinggi diambil dari titik dengan sudut kanan ke hipotenus, maka segi tiga dapat dibahagikan menjadi dua segi tiga yang lebih kecil, yang kedua-duanya mirip dengan segi tiga aslinya, dan oleh itu, mirip satu sama lain. Dari ini:

Ketinggian hipotenus ialah purata/min geometrik (min proporsi) dari dua segmen hipotenus.^[2]^{:pp. 216–217}

p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.

^:243

Setiap kaki segi tiga ialah sebahgian min hipotenus dan segmen hipotenus yang berdekatan dengan kaki.

Dalam persamaan,

\displaystyle f^{2}=de,

(ini kadang-kadang dikenal sebagai teorema tinggi segi tiga sudut tegak)

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

di mana a, b, c, d, e, f adalah seperti yang ditunjukkan pada diagram.^[3] Jadi

f={\frac {ab}{c}}.

Selain itu, tinggi ke hipotenus terkait dengan kaki-kaki segi tiga kanan^[4]^[5]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

Tinggi dari kedua-dua kaki bertepatan dengan kaki lainnya. Oleh kerana garis berpotongan di sudut tegak, pusat orto segi tiga sudut tegak — persilangan tiga ketinggiannya — bertepatan dengan titik puncak sudut tegak.

Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras menyatakan bahawa:

Dalam setiap segi tiga sudut tegak, luas segi empat sama dengan sisinya ialah hipotenus (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah luas segi empat sama yang sisi-sisinya ialah dua kaki (dua sisi yang bertemu pada sudut kanan).

Ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai

\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}

di mana c adalah panjang hipotenus, dan a dan b adalah panjang dari sisi-sisi lain.

Triplet Pythagoras ialah nilai integer dari a, b, c yang memenuhi persamaan ini.

Ciri

Segi tiga ABC dengan sisi $a\leq b<c$ , semiperimeter s, luas T, tinggi h berlawanan dengan sisi terpanjang, jejari bulatan terlilit R, jejari dalaman r, jejari luaran r_a, r_b, r_c (bersinggungan dengan a, b, c masing-masing), dan median m_a, m_b, m_c ialah segi tiga sudut tegak jika dan hanya jika salah satu dari pernyataan dalam enam kategori berikut ini benar. Semuanya tentu saja juga ciri-ciri dari segi tiga sudut tegak, karena ciri-ciri ini bersifat setara.

Sisi dan semiperimeter

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{teorem Pythagoras}})$
$\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
$\displaystyle s=2R+r.$ ^[6]
$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$ ^[7]

Sudut

A dan B adalah komplemen.^[8]
$\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$ ^[7]^[9]
$\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$ ^[7]^[9]
$\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$ ^[9]
$\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Luas

$\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
$\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
$\displaystyle T=r(2R+r)$
$T=PA\cdot PB,$ di mana P adalah titik tangen bulatan dalaman di sisi terpanjang AB.^[10]

Radius dalaman dan luaran

$\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
$\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
$\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
$\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
$\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
$\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$ ^[11]

Tinggi dan median

$\displaystyle h={\frac {ab}{c}}$
$\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.$ ^[12]^{:Prob. 954, p. 26}
Panjang satu median sama dengan jejari bulatan lilit.
Tinggi terpendek (yang dari sudut dengan sudut terbesar) adalah min geometri dari segmen garis yang membagi sisi yang berlawanan (terpanjang) menjadi. Ini adalah teorema ketinggian segi tiga sudut tegak.

Bulatan dalaman dan luaran

Segi tiga dapat ditulis dalam semibulatan, dengan satu sisi bertepatan dengan keseluruhan diameter (teorem Thales).
Titik ukurlilit adalah titik tengah dari sisi terpanjang.
Sisi terpanjang adalah diameter bulatan $\displaystyle (c=2R).$
Bulatan itu bertangen dengan bulatan sembilan titik.^[7]
Pusat orto terletak di bulatan.^[12]
Jarak antara pusat dalaman dan pusat orto sama dengan ${\sqrt {2}}r$ .^[12]

Nisbah trigonometri

Fungsi trigonometri sudut tirus dapat ditakrif sebagai nisbah sisi-sisi segi tiga sudut tegak. Bagi sudut tertentu, segi tiga sudut tegak dapat dihasilkan dengan sudut ini, dan sisi berlabel berlawanan, berdekatan dan hipotenus dengan merujuk sudut ini sesuai dengan definisi di atas. Nisbah sisi-sisi ini tidak bergantung pada segi tiga sudut tegak tertentu yang dipilih, tetapi hanya pada sudut yang diberikan, oleh kerana semua segi tiga yang dibangun dengan cara ini adalah setara. Jika, bagi sudut tertentu α, sisi yang berlawanan, sisi yang berdekatan dan hipotenus masing-masing diberi label O, A dan H, maka fungsi trigonometri adalah

\sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.

Segi tiga sudut tegak khusus

Nilai fungsi trigonometri dapat dikira dengan tepat bagi sudut tertentu menggunakan segi tiga sudut tegak dengan sudut khusus. Ini termasuk segi tiga 30-60-90 yang dapat digunakan untuk mencari fungsi trigonometri untuk gandaan π/6, dan segi tiga 45-45-90 yang dapat digunakan untuk mencari fungsi trigonometri bagi gandaan π/4.

Segi tiga Kepler

Dengan H, G, dan A menjadi min harmonik, min geometri, dan min aritmetik dua bilangan positif a dan b dengan a > b. Jika segi tiga sudut tegak memiliki kaki H dan G dan hipotenus A, maka.^[13]

{\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,

dan

{\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,

di mana $\phi$ ialah nisbah emas ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,$ Oleh kerana sisi-sisi segi tiga sudut tegak ini berada dalam janjang geometri, ini ialah segi tiga Kepler.

Teori Thales

Teorem Thales menyatakan bahawa jika A adalah titik mana pun dari lingkaran dengan diameter BC (kecuali B atau C sendiri), ABC adalah segi tiga sudut tegak, di mana A merupakan sudut kanan. Sama dengan sebaliknya, jika segi tiga sudut tegak termasuk dalam bulatan, maka hipotenus akan menjadi diameter bulatan. Satu perkara wajar adalah bahawa panjang hipotenus adalah dua kali jarak dari sudut sudut kanan ke titik tengah hipotenus. Juga, pusat bulatan yang membatasi segi tiga kanan adalah titik tengah hipotenus dan jari-jarinya ialah setengah panjang hipotenus.

Garis Euler

Dalam segi tiga sudut tegak, garis Euler berisi median hipotenus - iaitu melewati titik sudut kanan dan titik tengah sisi yang berlawanan dengan titik itu. Ini kerana pusat orto segi tiga kanan, persilangan ketinggiannya, jatuh pada sudut tegak, sementara pusat jejari lilit, persimpangan garis-garis sisi yang tegak lurus, berada di titik tengah hipotenus.

Rujukan

^ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.
^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
^ Wentworth p. 156
^ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
^ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
^ Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011
^ ^a ^b ^c ^d Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
^ "Properties of Right Triangles". Diarkibkan daripada yang asal pada 2011-12-31. Dicapai pada 2020-06-02. Unknown parameter |dead-url= ignored (bantuan)
^ ^a ^b ^c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [1] Diarkibkan 2013-08-05 di Wayback Machine.
^ Darvasi, Gyula (March 2005), "Converse of a Property of Right Triangles", The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76.
^ Bell, Amy (2006), "Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342
^ ^a ^b ^c Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [2].
^ Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

Eric W. Weisstein, Right Triangle di MathWorld.
Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.

Pautan luar

[1] Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.

[Posamentier-2] Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.

[3] Wentworth p. 156

[4] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[5] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[6] Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011

[Andreescu-7] Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.

[8] "Properties of Right Triangles". Diarkibkan daripada yang asal pada 2011-12-31. Dicapai pada 2020-06-02. Unknown parameter |dead-url= ignored (bantuan)

[CTK-9] CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [1] Diarkibkan 2013-08-05 di Wayback Machine.

[10] Darvasi, Gyula (March 2005), "Converse of a Property of Right Triangles", The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76.

[Bell-11] Bell, Amy (2006), "Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342

[Crux-12] Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [2].

[13] Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]