Kebebasan (teori kebarangkalian)

Dalam teori kebarangkalian, untuk mengatakan bahawa dua peristiwa adalah bebas bererti bahawa berlakunya satu peristiwa menjadikan ia tidak lebih atau tidak kurang kebarangkalian yang lain berlaku. Sebagai contoh:

• Peristiwa mendapat 6 pertama kali melontar dadu; dan peristiwa mendapat 6 apabila melontar kali kedua adalah bebas.
• Sebaliknya, peristiwa mendapat 6 pertama kali melontar dadu dan peristiwa bahawa jumlah nombor yang dilihat pada cubaan melontar kali pertama dan kali kedua adalah 8 adalah tidak bebas.
• Sekiranya dua kad diambil dengan gantian dari dek kad , peristiwa menarik kad merah pada cubaan pertama dan menarik kad merah pada cubaan kedua adalah bebas.
• Sebaliknya, sekiranya dua kad ditarik tanpa penggantian dari dek kad, kemungkinan menarik kad merah pada cubaan pertama dan menarik keluar kad merah pada cubaan kedua juga tidak bebas.

Sama juga, dua pemboleh ubah rawak adalah bebas sekiranya keadaan taburan kebarangkalian bagi nilai cerapan yang lain adalah sama seolah-olah nilai lain tidak dicerap. Konsep bebas berlanjutan kepada menangani dengan himpunan dua peristiwa atau lebih pemboleh ubah rawak.

Dalam sesetengah kejadian, istilah "bebas" digantikan dengan "bebas statistik", "bebas marginal", atau "bebas mutlak".

Peristiwa bebas

Takrifan piwaian menyatakan bahawa:

Dua peristiwa A dan B adalah bebas jika dan hanya jika $\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot \Pr(B)$

Di sini A ∩ B merupakan persilangan (teori set) bagi A dan B, iaitu, ia adalah peristiwa yang kedua peristiwa A dan B berlaku.

Lebih umum lagi, sebarang himpunan peristiwa-kemungkinan lebih dari dua—adalah sama bebas jika dan hanya jika bagi setiap subset A₁, ..., A_n terhingga bagi himpunan kita miliki

$\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i}).\!\,$

Ini dikenali sebagai hukum daraban bagi peristiwa bebas. Perhatikan bahwa bebas memerlukan hukum ini benar bagi setiap subset bagi himpunan; lihat bagi contoh tiga peristiwa di mana $\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{3}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{3}\Pr(A_{i})\!$ dan sebaliknya tiada dua dari tiga peristiwa adalah tak bersandar pasangan demi pasangan.

Sekiranya dua peristiwa A dan B adalah bebas, dengan itu kebarangkalian bersyarat bagi A diberikan B adalah sama seperti tak bersyarat (atau marginal) kebarangkalian bagi A, iaitu,

$\Pr(A\mid B)=\Pr(A).\!\,$

Terdapat sekurang-kurangnya dua alasan mengapa kenyataanini tidak diambil sebagai takrifan bebas: (1) kedua peristiwa A dan B tidak memainkan peranan seimbang dalam kenyataan ini, dan (2) masalah timbul dengan kenyataan ini apabila membabitkan peristiwa kebarangkalian 0.

Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A diberikan B adalah diberikan oleh

$\Pr(A\mid B)={\Pr(A\cap B) \over \Pr(B)},\!\,$ (selagi Pr(B) ≠ 0 )

Kenyataan di atas, apabila $\Pr(B)\neq 0$ adalah bersamaan dengan

$\Pr(A\cap B)=\Pr(A\mid B)\cdot \Pr(B)\!\,$

di mana tarifan piwaian di beri di atas.

Perhatikan bahawa peristiwa adalah bebas dari dirinya sendiri dan hanya jika

$\Pr(A)=\Pr(A\cap A)=\Pr(A)\cdot \Pr(A).$

Iaitu, jika kebarangkaliannya adalah satu atau sifar. Dengan itu sekiranya peristiwa atau Pelengkap (teori set) hampir pasti berlaku, ia adalah bebas dari dirinya. Sebagai contoh, sekiranya peristiwa A dipilih dari sebarang nombor kecuali 0.5 dari taburan sekata bagi selang unit, A adalah bebas dari dirinya, sungguhpun, tautologi, A menentukan sepenuhnya A.